2页纸图解数学:极聪明方式构造数学相等关系

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：施罗德-伯恩斯坦定理就是一个非常实用的例子。这时，椅子的数量和学生的数量一定相等。参考阅读//No. 7 集合论，第18页No. 9 映射，第22页No. 11 逆，第26页No. 16 希尔伯特旅馆，第36页右图：一个函数f与它的逆函数f -1。

1.多维度看全

计数是数学领域中一项十分困难的课题，尤其是当涉及无穷数时。集合论的出现，第一次使得对有关无穷集命题的严谨证明变得可行。施罗德-伯恩斯坦定理就是一个非常实用的例子。

想象在一间教室里，有一定数量的椅子，还有一些学生。如果每把椅子上都坐了一名学生，我们就能得出，学生的数量肯定不少于（至少等于）椅子的数量（因为可能有一些学生站着，所以学生的数量可能会更多）。换另外一种情况，如果每个学生都有一把椅子坐，我们就能得出，椅子的数量至少有学生的数量那么多（因为可能还有一些椅子没人坐）。

现在想象一下这两种情况同时成立。这时，椅子的数量和学生的数量一定相等。目前看起来，这个结论很显然，但如果我们将它推广到无穷集（比如一些数集），它就会包含更多的意义。这种普遍化，也正是施罗德-伯恩斯坦定理所做的事情。

右图：要想确认学生和椅子的数量是否相等，我们不必挨个去数它们具体的数量。

2.关键点梳理

许多证明都借助了施罗德-伯恩斯坦定理来表明两个集合（设这两个集合为A和B）中元素的数量相等，这是通过构建两个映射做到的。其中一个是从A指向B的映射，B中的每个元素都不会被一个以上的箭头指向，另一个是从B指向A的映射，其中A中的每个元素都最多只会被一个箭头指向。

如果这样的映射存在，那么我们就可以立即证得，A和B中元素数量相等（即便它们都是无穷集合）。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 7 集合论，第18页

No. 9 映射，第22页

No. 11 逆，第26页

No. 16 希尔伯特旅馆，第36页

右图：一个函数f与它的逆函数f ^-1。因为f将a映射到3，因此它的逆函数f ^-1将3映射回a。

3.一分钟记忆