一些人认为，它们证实了微积分的力量；而另一些人认为，这些事物表明了微积分这门学科的内在逻辑还存在许多漏洞。哲学家们还在持续进行着争论，而数学家们已经欣然接受了病态函数的存在。许多病态函数的图像都和这个图像类似，呈分形。如果一个病态函数导致一个矛盾出现，整个理论就会被推翻。......
2023-11-22
2页纸图解数学:极聪明方式，三步读懂数学
【摘要】：举例来讲，我们可以将几何课本中所讲的二维空间视为一条线与另一条线相乘的结果，而想要得到我们所处的三维空间，我们只需将二维空间再“乘以”一条线。参考阅读//No. 7集合论，第18页No. 35 抽象代数，第74页No. 59 欧几里得空间，第122页3.一分钟记忆不是只有数才可以作乘法，积的观点可以被推广到任意两个集合之间。
1.多维度看全
一个国际象棋棋盘有八行，每行有八个方格。这意味着总共有8×8=64个方格。每个方格都可以用一组唯一的数对来标记，前一个数表示它在第几行，后一个数表示它在第几列，这些方格在一起构成了整个国际象棋棋盘。在某种意义上，这个棋盘就是它的行与列的积。
自集合论被投入常规使用以来，许多数以外的数学对象也渐渐开始可以这样作积。举例来讲，我们可以将几何课本中所讲的二维空间视为一条线与另一条线相乘的结果，而想要得到我们所处的三维空间，我们只需将二维空间再“乘以”一条线。
上述这样的积将初等算术中数字的乘法运算加以推广，这使得几乎所有你能想到的数学对象相乘都成为了可能。
下图：一个正方形可以被看作一条线段乘以一条等长线段。如果我们想要得到一个立方体，我们需要再乘上一条等长线段。右图：集合A和集合B的笛卡尔积是从两集合中各取一个元素所构成的有序对的集合。
2.关键点梳理
给定两个集合，集合A与集合B，它们的积是一个新的集合A×B。
这个新集合中的每个元素都是一个包含两个元素的有序对，其中一个元素属于集合A，另一个元素属于集合B。因此，如果A代表一个餐馆里所有开胃菜的集合，B代表所有主菜的集合，那么集合A×B就包含了所有可供选择的包含一道开胃菜和一道主菜的组合套餐。(www.chuimin.cn)
当两个集合具备同样的附加结构时，它们的积通常也会继而具备类似的性质，这样一来，我们就得到群积、域积、向量空间积，等等。
参考阅读//
No. 7集合论，第18页No. 35 抽象代数，第74页
No. 59 欧几里得空间，第122页
3.一分钟记忆
不是只有数才可以作乘法，积的观点可以被推广到任意两个集合之间。
A×B包含了将A中的一个元素和B中的一个元素放在一起的所有方式。
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2023-11-22
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39种饰带和壁纸图样 2页纸图解数学：极聪明详细阅读
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2023-11-22
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