欧几里得1.多维度看全约公元前300年，欧几里得完成了他的鸿篇巨作——《几何原本》。后来的数学作者们纷纷效仿、参照欧几里得的数学思路进行专业文本的写作。现在，从教科书到研究论文，所有文本都采用公理、定理和证明这种写作形式。参考阅读//No. 7 集合论，第18页No. 13 范畴，第30页No. 14 自然数，第32页右图：不同版本欧几里得《几何原本》的书页，这是迄今为止最有影响力的数学著作。......
2025-09-30
2页纸图解数学:极聪明方式，三步读懂数学
【摘要】：举例来讲，我们可以将几何课本中所讲的二维空间视为一条线与另一条线相乘的结果，而想要得到我们所处的三维空间，我们只需将二维空间再“乘以”一条线。参考阅读//No. 7集合论，第18页No. 35 抽象代数，第74页No. 59 欧几里得空间，第122页3.一分钟记忆不是只有数才可以作乘法，积的观点可以被推广到任意两个集合之间。
1.多维度看全
一个国际象棋棋盘有八行，每行有八个方格。这意味着总共有8×8=64个方格。每个方格都可以用一组唯一的数对来标记，前一个数表示它在第几行，后一个数表示它在第几列，这些方格在一起构成了整个国际象棋棋盘。在某种意义上，这个棋盘就是它的行与列的积。
自集合论被投入常规使用以来，许多数以外的数学对象也渐渐开始可以这样作积。举例来讲，我们可以将几何课本中所讲的二维空间视为一条线与另一条线相乘的结果，而想要得到我们所处的三维空间，我们只需将二维空间再“乘以”一条线。
上述这样的积将初等算术中数字的乘法运算加以推广，这使得几乎所有你能想到的数学对象相乘都成为了可能。
下图：一个正方形可以被看作一条线段乘以一条等长线段。如果我们想要得到一个立方体，我们需要再乘上一条等长线段。右图：集合A和集合B的笛卡尔积是从两集合中各取一个元素所构成的有序对的集合。
2.关键点梳理
给定两个集合，集合A与集合B，它们的积是一个新的集合A×B。
这个新集合中的每个元素都是一个包含两个元素的有序对，其中一个元素属于集合A，另一个元素属于集合B。因此，如果A代表一个餐馆里所有开胃菜的集合，B代表所有主菜的集合，那么集合A×B就包含了所有可供选择的包含一道开胃菜和一道主菜的组合套餐。(https://www.chuimin.cn)
当两个集合具备同样的附加结构时，它们的积通常也会继而具备类似的性质，这样一来，我们就得到群积、域积、向量空间积，等等。
参考阅读//
No. 7集合论，第18页No. 35 抽象代数，第74页
No. 59 欧几里得空间，第122页
3.一分钟记忆
不是只有数才可以作乘法，积的观点可以被推广到任意两个集合之间。
A×B包含了将A中的一个元素和B中的一个元素放在一起的所有方式。
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