无法证明的：3步读懂最聪明的方式！

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：而哥德尔的两条不完全性定理让他们的希望破灭了，因为这些定理证明了，一个具备一致性且有一定研究价值的数学理论，往往又会是不完备的。哥德尔第二定理说的是，这样的理论无法证明它自身的一致性。

库尔特·哥德尔（1906—1978）在数理逻辑上取得了许多进展。

1.多维度看全

一个正式的理论可以纯用符号逻辑来表达。其中，公理都是已知的，每一条定理也都经过了逻辑有效的证明。我们可以对这些证明进行机械检验（计算机就可以检验），确保规避掉错误和含糊不清之处。

这样一个理论，理应允许我们用它对基于它提出的任何命题进行证真或证伪。如果证真和证伪都能做到，那么这个理论就是不一致的：因为它证明了自相矛盾的内容，不值得我们研究。如果它既不能证真，也不能证伪，那么这个理论就是不完备的，它并不能有力地回答我们预期它能回答的全部问题。

在20世纪早期，许多数学家和哲学家都希望所有的数学内容都可以简化为一致且完备的正式理论。而哥德尔的两条不完全性定理让他们的希望破灭了，因为这些定理证明了，一个具备一致性且有一定研究价值的数学理论，往往又会是不完备的。

2.关键点梳理

哥德尔第一定理说的是，存在一些关于自然数的命题，这些命题为真，我们却不能在系统中将它们证明。

哥德尔第二定理说的是，这样的理论无法证明它自身的一致性。证明一个理论不一致的一个方式就是在理论中找到证明其一致性的证据。

请注意，这些证明依靠算法结构，并不可以被想当然地应用到其他的知识领域中。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 1 公理、定理和证明，第6页

No. 5 逻辑，第14页

No. 29 连续统假设，第62页

No. 44 丢番图方程，第92页

哥德尔名言：“我可以证明，存在一个句子，该句为真，我们却无法将它证明。”

3.一分钟记忆

任何一个一致且能用基本算法表达的正式理论，都可以引申出一些它自身无法证真也无法证伪的命题，从而使它的一致性无法得到证明。

对于一些有力的理论，它们所能表述出的内容往往比它们所能证明的内容更多。