对这个问题的证明是反证法的典例，它说明了，没有任何一个有理数在取平方之后恰好得到2。它们开始被看作无限趋近某一数值的有理数无穷序列，也就是说，它们被视作极限。......
2023-11-22
三步读懂数学，极聪明方式！
【摘要】：几个世纪以来，亚里士多德的研究成果在基督教世界和伊斯兰世界一直是学术界的黄金准则。亚里士多德首先制定了一系列法则，对逻辑有效性进行了详细的规定。对于一个论证而言，真实性取决于内容本身，是否对确则与逻辑形式有关。
1.多维度看全
亚里士多德最早开启了对“如何才能恰当地从现有的信息中得出结论”这个问题的研究。他有一个极为重要的成果，就是让我们不去关注某段论证具体的内容，而是将注意力转移到这段论证的形式上。几个世纪以来，亚里士多德的研究成果在基督教世界和伊斯兰世界一直是学术界的黄金准则。
早期的许多逻辑讨论都使用日常语言，因为即便我们经常用符号来简化事物，大多数的论证还是用日常语言来表述的。直到19世纪，逻辑学家们才开始从纯符号的角度去处理逻辑。
由于证明在数学中的重要性，与之密切相关的逻辑也因此被归为数学基础的一部分。在被正式化以后，逻辑在数学领域里成了一个专门的研究对象。有趣的是，我们采用逻辑自身来研究逻辑。还有一点，尽管逻辑看起来抽象，是个纯理论的事物，却有一项非常重要的实际应用——计算机的发明。
右图：逻辑门是现代数字计算机的基石。
亚里士多德（公元前384—前322）首先制定了一系列法则，对逻辑有效性进行了详细的规定。
2.关键点梳理
一个论证首先始于一些信息，这些初始的信息通常被叫作前提假设或公理，随后我们从这些信息中通过证明得出结论，这个论证则就此完成。如果这个论证是一个好的论证，它就不能引领我们从真的前提假设中得出假的结论。（如果假设不成立，一切推翻。）
如果一个论证的逻辑形式是准确无误的，那么我们称它是对确的。一个对确的论证不会由真得出假。一旦掌握了用符号论证的方法，我们就可以直接通过走某种机械化的流程，来检验论证的对确与否。(www.chuimin.cn)
阿达·洛芙莱斯（1815—1852），史上第一个提出计算机可以用于编程的人。
3.一分钟记忆
逻辑研究的是如何给出一个好的数学论证。我们用逻辑自身去研究逻辑，就像语言学家用语言自身去研究语言一样。
对于一个论证而言，真实性取决于内容本身，是否对确则与逻辑形式有关。
参考阅读//
No. 1 公理、定理和证明，第6页
No. 6 哥德尔不完全性定理，第16页
No. 35 抽象代数，第74页
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2023-11-22
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举例来讲，我们可以将几何课本中所讲的二维空间视为一条线与另一条线相乘的结果，而想要得到我们所处的三维空间，我们只需将二维空间再“乘以”一条线。参考阅读//No. 7集合论，第18页No. 35 抽象代数，第74页No. 59 欧几里得空间，第122页3.一分钟记忆不是只有数才可以作乘法，积的观点可以被推广到任意两个集合之间。......
2023-11-22
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2023-11-22
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李群是以挪威数学家索菲斯·李的名字命名的。因此，现代物理很大程度上都在研究李群。参考阅读//No. 4 极限，第12页No. 38 群，第80页No. 39 饰带和壁纸的图样，第82页No. 60 流形，第124页右图：三维空间内所有可能发生的旋转都被看作某个球体二维表面上的点。李群对于流形以及现代物理的研究有着至关重要的意义，它们的理论也得到了很好的发展。......
2023-11-22
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2023-11-22
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举例来讲，在城市里，想要从一个地点走到另一个地点，不是一直走直线，而是沿着不同的街道走。现在，我们再在这个集合上定义一个映射，用于测量任意两点间的距离。具体的操作是，任取两个点映射到一个实数上。度量亦称“距离函数”，它需要满足下面这些常规约束条件。d(p,p)=0 ：一点与该点自身的距离为0。......
2023-11-22
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2023-11-22
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