归纳法证明：通过连锁反应追踪-数学简化指南

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：由此可知，所有的多米诺骨牌最终一定会全部倒下——这就是用归纳法来证明的。归纳法表示，如果该命题对任意的n成立，那么它对n+1同样成立。所以，在基础情况被证明成立后，通过归纳法，我们可以证明该命题对随后所有的n均成立。基本情况的成立意味着第一张多米诺骨牌的倒下，归纳法的运用则说明了每张多米诺骨牌都会撞倒它的下一张牌。

弗朗西斯科·毛罗里科（1494—1575），被誉为明确阐述归纳法的第一人。

1.多维度看全

如果我们想要证明，对于每一个比1大的自然数n，都有n²>n，不妨想象一串摆好了的无穷长的多米诺骨牌，其中第一张代表n=2，第二张代表n=3，以此类推。我们规定，多米诺骨牌只有其对应的n值满足n²>n时才会倒下。

我们的目标是让所有的多米诺牌都倒下。我们可以试着去证明2²>2，之后证明3²>3，然后一直这样下去，让它们一个接一个地倒下。但这种逐一证明的方法是没有尽头的，证明过程将无从完成，因此我们需要想出一个聪明的方法。

首先，证明第一张多米诺骨牌能倒下（即证明对于n=2，n²>n成立）。接下来证明，如果一张多米诺骨牌倒下，那么后面紧挨着它的那张也会倒下。由此可知，所有的多米诺骨牌最终一定会全部倒下——这就是用归纳法来证明的。

2.关键点梳理

基本情况是将n取其最小值，并代入我们所要证明的定理，看是否成立。在这个例子中，将n=2代入n²>n，得到2²>2。由于2²=4，且4>2，因而这一基本情况是真，第一张多米诺骨牌被撞倒了。

归纳法表示，如果该命题对任意的n成立，那么它对n+1同样成立。也就是说，如果第n张多米诺骨牌倒下了，那么第n+1张多米诺骨牌也会随之倒下。在这个例子中，我们可以借助些许的代数知识推出，在n²>n时，(n+1)²>n+1的确恒成立。总之，每张倒下的多米诺骨牌都会撞倒它的下一张牌，这样一来，如果第一张多米诺骨牌倒下，那么之后所有的多米诺骨牌就都会倒下。所以，在基础情况被证明成立后，通过归纳法，我们可以证明该命题对随后所有的n均成立。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 5 逻辑，第14页

No. 14 自然数，第32页

No. 89 迭代，第182页

右图：鲍勃·斯贝卡通过推倒111,111张多米诺骨牌打破了世界纪录，而数学家们可以推倒无穷多张多米诺骨牌。

3.一分钟记忆

通过归纳法，我们可以在有限的时间内，证明无穷多个可被有序排列的事实。

基本情况的成立意味着第一张多米诺骨牌的倒下，归纳法的运用则说明了每张多米诺骨牌都会撞倒它的下一张牌。