有了连续归纳法，数学分析里的一系列涉及实数连续性和连续函数性质的定理，就可以用统一的模式来证明。以下用连续归纳法证明：这将推出每个实数都是{bn}的下界，即得矛盾。由连续归纳法，px对一切x成立。[例8.3.6]设f在[a，b]上连续，f＜0，f＞0，则至少有一个点x0∈（a，b），使f＝0。[例8.3.7]若f在[a，b]上连续，则f在[a，b]上取到最大值和最小值。......
2025-09-30
归纳法证明：通过连锁反应追踪-数学简化指南
【摘要】：由此可知，所有的多米诺骨牌最终一定会全部倒下——这就是用归纳法来证明的。归纳法表示，如果该命题对任意的n成立，那么它对n+1同样成立。所以，在基础情况被证明成立后，通过归纳法，我们可以证明该命题对随后所有的n均成立。基本情况的成立意味着第一张多米诺骨牌的倒下，归纳法的运用则说明了每张多米诺骨牌都会撞倒它的下一张牌。
弗朗西斯科·毛罗里科（1494—1575），被誉为明确阐述归纳法的第一人。
1.多维度看全
如果我们想要证明，对于每一个比1大的自然数n，都有n2>n，不妨想象一串摆好了的无穷长的多米诺骨牌，其中第一张代表n=2，第二张代表n=3，以此类推。我们规定，多米诺骨牌只有其对应的n值满足n2>n时才会倒下。
我们的目标是让所有的多米诺牌都倒下。我们可以试着去证明22>2，之后证明32>3，然后一直这样下去，让它们一个接一个地倒下。但这种逐一证明的方法是没有尽头的，证明过程将无从完成，因此我们需要想出一个聪明的方法。
首先，证明第一张多米诺骨牌能倒下（即证明对于n=2，n2>n成立）。接下来证明，如果一张多米诺骨牌倒下，那么后面紧挨着它的那张也会倒下。由此可知，所有的多米诺骨牌最终一定会全部倒下——这就是用归纳法来证明的。
2.关键点梳理
基本情况是将n取其最小值，并代入我们所要证明的定理，看是否成立。在这个例子中，将n=2代入n2>n，得到22>2。由于22=4，且4>2，因而这一基本情况是真，第一张多米诺骨牌被撞倒了。
归纳法表示，如果该命题对任意的n成立，那么它对n+1同样成立。也就是说，如果第n张多米诺骨牌倒下了，那么第n+1张多米诺骨牌也会随之倒下。在这个例子中，我们可以借助些许的代数知识推出，在n2>n时，(n+1)2>n+1的确恒成立。总之，每张倒下的多米诺骨牌都会撞倒它的下一张牌，这样一来，如果第一张多米诺骨牌倒下，那么之后所有的多米诺骨牌就都会倒下。所以，在基础情况被证明成立后，通过归纳法，我们可以证明该命题对随后所有的n均成立。
参考阅读//(https://www.chuimin.cn)
No. 5 逻辑，第14页
No. 14 自然数，第32页
No. 89 迭代，第182页
右图：鲍勃·斯贝卡通过推倒111,111张多米诺骨牌打破了世界纪录，而数学家们可以推倒无穷多张多米诺骨牌。
3.一分钟记忆
通过归纳法，我们可以在有限的时间内，证明无穷多个可被有序排列的事实。
基本情况的成立意味着第一张多米诺骨牌的倒下，归纳法的运用则说明了每张多米诺骨牌都会撞倒它的下一张牌。
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