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实对称矩阵的合同及相似判定

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：（1）同阶实对称矩阵A，B合同的判定.①用定义法：A，B合同存在可逆矩阵C，使得CTAC＝B.②用正、负惯性指数：A，B合同pA＝pB，qA＝qB.（相同的正、负惯性指数）③用传递性：A合同于C，C合同于B，则A合同于B.【注】同阶矩阵A，B相似的判定.（1）用定义法：A，B相似存在可逆矩阵C，使得C－1AC＝B.（2）用传递性：A相似于C，C相似于B，则A相似于B.（常考C为Λ 的情形）（3）用

（1）同阶实对称矩阵A，B合同的判定.

①用定义法：A，B合同⇔存在可逆矩阵C，使得CTAC＝B.

②用正、负惯性指数：A，B合同⇔pA＝pB，qA＝qB.（相同的正、负惯性指数）

③用传递性：A合同于C，C合同于B，则A合同于B.

【注】同阶矩阵A，B相似的判定.

（1）用定义法：A，B相似⇔存在可逆矩阵C，使得C－1AC＝B.

（2）用传递性：A相似于C，C相似于B，则A相似于B.（常考C为Λ 的情形）

（3）用结论：①同阶实对称矩阵A，B相似必合同；

②若A，B相似，则a.r（A）＝r（B），b.|A|＝|B|，c.tr（A）＝tr（B），d.A，B有相同的特征值.这四条只要有一个不满足，则A，B不相似.

见例9.12至例9.14.

（2）已知A，Λ（Λ 是对角矩阵），求可逆矩阵C，使得CTAC＝Λ.见例9.15，例9.16.

（3）已知A，B（B不是对角矩阵），求可逆矩阵C，使得CTAC＝B.见例9.17.

例9.12 设 pagenumber_ebook=195,pagenumber_book=187 ，则A与B（）.

（A）合同且相似（B）合同，但不相似

（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似

【解】应选（A）.

因为 pagenumber_ebook=195,pagenumber_book=187 ，故A 的特征值为λ1＝3，λ2＝λ3＝0，A 为实对称矩阵，必可相似对角化，于是，同阶实对称矩阵相似必合同，故A，B亦合同.

例9.13 设矩阵 pagenumber_ebook=196,pagenumber_book=188 ，则A与B（）.

（A）合同且相似（B）合同，但不相似

（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似

【解】应选（B）.

因为 pagenumber_ebook=196,pagenumber_book=188

所以矩阵A的特征值为3，3，0.由此可知矩阵A与B 不相似，从而选项（A）和（C）错误.

又因为实对称矩阵A相似且合同于对角矩阵

而矩阵C显然合同于矩阵B，根据合同关系的传递性知矩阵A合同于B，即选项（B）正确.

例9.14 设A为3阶实对称矩阵，互换A的1，2行得到矩阵B，再互换B的1，2列得到矩阵C，则矩阵A与矩阵C（）.

（A）合同但不相似（B）相似但不合同

（C）合同且相似（D）不合同也不相似(https://www.chuimin.cn)

【解】应选（C）.

由题设互换A的1，2行得到矩阵B，则有PA＝B，其中 pagenumber_ebook=196,pagenumber_book=188 .再互换B 的1，2列得到矩阵C，则有BP＝C，从而PAP＝C.由于初等矩阵满足PT＝P，P－1＝P，所以P－1AP＝C，PTAP＝C，即矩阵A与矩阵C 合同且相似，故正确选项为（C）.

【注】这是综合题，考核点为矩阵初等变换与初等矩阵的关系，初等矩阵的逆矩阵，矩阵合同与相似的概念.

例9.15 设二次型

f（x1，x2，x3）＝λ1x21＋λ2x22＋λ3x23，g（y1，y2，y3）＝λ3y21＋λ1y22＋λ2y23.

（1）证明f与g 合同；

（2）求可逆矩阵C，使在x＝Cy下，f化为g.

（1）【证】 pagenumber_ebook=196,pagenumber_book=188

于是f，g的二次型矩阵分别为 pagenumber_ebook=197,pagenumber_book=189 与，故A，B 有相同的正、负惯性指数，A，B合同，f与g 合同.

（2）【解】令x1＝y2，x2＝y3，x3＝y1，即

则f＝g，取 pagenumber_ebook=197,pagenumber_book=189 ，即可在x＝Cy下，将f化为g.

例9.16 已知 pagenumber_ebook=197,pagenumber_book=189

证明A与B 合同，并求出可逆矩阵C，使得CTAC＝B.

【注】（）处用的是先配x3，再配x2，最后配x1 的顺序，只要一次配齐一个xi，i＝1，2，3，先配谁，后配谁，是没有限制的，以利于解题为原则即可.

例9.17 已知实矩阵 pagenumber_ebook=197,pagenumber_book=189 ，a为正整数.若存在可逆矩阵C，使得CTAC＝B.

（1）求a，b的值；

（2）求矩阵C.

【解】（1）因AT＝A，故

BT＝（CTAC）T＝CTATC＝CTAC＝B，

所以B为对称矩阵，b＝3.

对于

对于

由于A与B 合同，记pA，qA，pB，qB 分别为二次型f，g 的正、负惯性指数，故pA＝pB，qA＝qB，于是a－2＜0，即a＜2，又a为正整数，故a＝1.

综上所述，a＝1，b＝3.

（2）由（1）得f（x1，x2）＝2（x1＋x2）2－x22，

使得CTAC＝B.