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线性代数9讲-矩阵语言-配方法求二次型标准形和规范形

2023-11-21 理论教育版权反馈

【摘要】：对实对称矩阵A，必存在可逆矩阵C，使得CTAC＝Λ，其中Λ 是对角矩阵.【注】（1）Λ（标准形）不唯一，视C而定，且Λ 的主对角线元素往往不是A 的特征值.（2）p，q唯一.（3）r（A）＝p＋q.例9.2 用配方法求二次型f（x1，x2，x3）＝4x22－3x23＋4x1x2－4x1x3＋8x2x3 的标准形和规范形，并写出所作的可逆线性变换.【解】先将含x2 的各项合并在一起，配成完全平方项：

对实对称矩阵A，必存在可逆矩阵C，使得CTAC＝Λ，其中Λ 是对角矩阵.

【注】（1）Λ（标准形）不唯一，视C而定，且Λ 的主对角线元素往往不是A 的特征值.

（2）p，q唯一.

（3）r（A）＝p＋q.

例9.2 用配方法求二次型f（x1，x2，x3）＝4x22－3x23＋4x1x2－4x1x3＋8x2x3 的标准形和规范形，并写出所作的可逆线性变换.

【解】先将含x2 的各项合并在一起，配成完全平方项：

f（x1，x2，x3）＝（4x22＋4x1x2＋8x2x3）－3x23－4x1x3

＝（x1＋2x2＋2x3）2－x21－7x23－8x1x3.

再将其余含x1 的项合并在一起，配成完全平方项：

由此得二次型的标准形为

f＝y21－y22＋9y23.

所作的可逆线性变换为x＝C1y，其中

继续作可逆线性变换y＝C2z，令

而二次型的规范形为

f＝z21＋z22－z23，

对应的线性变换x＝C1y＝（C1C2）z.所以由变量x1，x2，x3 到z1，z2，z3 的线性变换的矩阵为(www.chuimin.cn)

例9.3 设二次型f（x1，x2，x3）＝x21－x22＋2ax1x3＋4x2x3 的负惯性指数为1，则a的取值范围是________.

【解】应填［－2，2］.

方法一由配方法可得

f（x1，x2，x3）＝x21－x22＋2ax1x3＋4x2x3

＝x21＋2ax1x3＋a2x23－x22＋4x2x3－4x23＋4x23－a2x23

＝（x1＋ax3）2－（x2－2x3）2＋（4－a2）x23，

因为f的负惯性指数为1，所以4－a2≥0，故－2≤a≤2.

方法二二次型f的负惯性指数为1，则其矩阵A的特征值λ1＜0，λ2≥0，λ3≥0，于是

故－2≤a≤2.

例9.4 将二次型f（x1，x2，x3）＝x1x2＋x1x3－x2x3 化为规范形，并求所用的可逆线性变换.

得二次型的规范形为

其中，所作线性变换为

用矩阵表示为

其中 pagenumber_ebook=188,pagenumber_book=180 ＝－2≠0，故x＝Cz是可逆线性变换.

【注】配方法是中学已经掌握的内容，并不难，但为我们提供了①所作的可逆线性变换；②与A 合同的对角矩阵；③二次型（或A）的秩；④正、负惯性指数；⑤是否正定等二次型的重要信息，故在求上述问题时，别忘了有一招是配方法.