设n阶矩阵A，若存在n阶可逆矩阵P，使得P－1AP＝Λ，其中Λ 是对角矩阵，则称A可相似对角化，记A～Λ，称Λ 是A 的相似标准形.于是可知，若A可相似对角化，即P－1AP＝Λ，其中P可逆，等式两边同时左乘P，有AP＝PΛ，记由P可逆，则ξ1，ξ2，…＝λn＝0，A的特征值全是零.若A能与对角矩阵Λ 相似，则Λ 的主对角线元素为A......
2023-11-21
线性代数9讲：特征向量命题与重要结论
【摘要】：（1）ξ（≠0）是A的属于λ0 的特征向量ξ是（λ0E－A）x＝0的非零解.（2）重要结论.①k重特征值λ至多只有k个线性无关的特征向量（直接使用，不用证明）.②若ξ1，ξ2 是A的属于不同特征值λ1，λ2 的特征向量，则ξ1，ξ2 线性无关.【注】证 设A的特征值λ1，λ2（λ1≠λ2）对应的特征向量是ξ1，ξ2，即Aξ1＝λ1ξ1，Aξ2＝λ2ξ2.考查式①两端左乘A，得式①两边乘λ1，得③－
（1）ξ（≠0）是A的属于λ0 的特征向量⇔ξ是（λ0E－A）x＝0的非零解.
（2）重要结论.
①k重特征值λ至多只有k个线性无关的特征向量（直接使用，不用证明）.
②若ξ1，ξ2 是A的属于不同特征值λ1，λ2 的特征向量，则ξ1，ξ2 线性无关.
【注】证 设A的特征值λ1，λ2（λ1≠λ2）对应的特征向量是ξ1，ξ2，即
Aξ1＝λ1ξ1，Aξ2＝λ2ξ2.
考查
式①两端左乘A，得
式①两边乘λ1，得
③－②，得k2（λ1－λ2）ξ2＝0.因λ1≠λ2，ξ2≠0，故得k2＝0.
将k2＝0代入式①，因ξ1≠0，得k1＝0，故不同特征值λ1，λ2 对应的特征向量线性无关.
③若ξ1，ξ2 是A的属于同一特征值λ的特征向量，则k1ξ1＋k2ξ2（k1，k2 不同时为零）仍是A的属于特征值λ的特征向量.（常考其中一个系数（如k2）等于0的情形）.见例7.5，例7.6.(www.chuimin.cn)
【注】证 当k1ξ1＋k2ξ2≠0时，由定义知，
故k1ξ1＋k2ξ2 仍是A的对应于λ的特征向量.
或由ξ1，ξ2 均是齐次线性方程组（λE－A）x＝0的解，故k1ξ1＋k2ξ2 仍是上述方程组的解，即当k1ξ1＋k2ξ2≠0时，k1ξ1＋k2ξ2 仍是A的对应于λ的特征向量.
④若ξ1，ξ2 是A的属于不同特征值λ1，λ2 的特征向量，则当k1≠0，k2≠0时，k1ξ1＋k2ξ2 不是A的特征向量.（常考k1＝k2＝1的情形）.见例7.5，例7.10.
【注】证 若k1ξ1＋k2ξ2 是A的特征向量，则存在数λ，有
A（k1ξ1＋k2ξ2）＝λ（k1ξ1＋k2ξ2），
即 k1Aξ1＋k2Aξ2＝k1λξ1＋k2λξ2，
也即 k1λ1ξ1＋k2λ2ξ2＝k1λξ1＋k2λξ2，
移项，得 k1（λ1－λ）ξ1＋k2（λ2－λ）ξ2＝0.
由于ξ1，ξ2 线性无关，则
又k1≠0，k2≠0，则λ1＝λ2＝λ，与题设矛盾，故k1ξ1＋k2ξ2 不是A的特征向量.
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2023-11-21
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2023-11-21
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2023-11-21
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2023-11-21
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2023-11-21
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2023-11-21
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