张宇线性代数9讲：坐标变换方法详解

其中x＝Cy 叫坐标变换公式.

见例6.10，例6.11.

例6.10 设α1，α2，α3 是3维向量空间R3的一个基，则由基到基α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1 的过渡矩阵为（）.

【解】应选（A）.

按过渡矩阵定义，即求［α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1］＝中的矩阵P.则

选（A）.

例6.11 设向量组α1，α2，α3 为R3的一个基，

β1＝2α1＋2aα3，β2＝2α2，β3＝α1＋（a＋1）α3.

（1）证明向量组β1，β2，β3 为R3的一个基；

（2）当a为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3 与基β1，β2，β3 下的坐标相同，并求出所有的ξ.

（1）【证】由于

［β1，β2，β3］＝［2α1＋2aα3，2α2，α1＋（a＋1）α3］＝［α1，α2，α3］P，

其中

且|P|＝4≠0，所以β1，β2，β3 为R3的一个基.

（2）【解】设ξ在基α1，α2，α3 与基β1，β2，β3 下的坐标向量为，则

故当a＝0时，方程组（P－E）x＝0有非零解，且所有非零解为

故在两个基下坐标相同的所有非零向量为，k为任意非零常数.

【注】经常见到矩阵中含未知参数，但其行列式算出来却不含参数，考生应习惯这种巧妙的命题设置.

6.1 设，对A分别以列和行分块，记为，其中，则

①r（A）＝2；②α2，α4 线性无关；③β1，β2，β3 线性无关；④α1，α2，α3 线性相关.

其中正确的是（）.

（A）①和③ （B）②和③ （C）①和④ （D）②和④

6.2 设3维向量α1，α2，α3 满足α1－2α2＋3α3＝0，对任意的3维向量β，向量组α1＋aβ，α2＋bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件（）.

（A）a＝b（B）a＝－b（C）a＝2b（D）a＝－2b

6.3 已知n维向量组（Ⅰ）：α1，α2，α3，α4 是线性方程组（Ⅱ）：Ax＝0的基础解系，则向量组aα1＋bα4，aα2＋bα3，aα3＋bα2，aα4＋bα1 也是Ax＝0的基础解系的充分必要条件是（）.

（A）a＝b （B）a≠－b （C）a≠b （D）a≠±b

6.4 设A＝［α1，α2，…，αn］经过若干次初等行变换得B＝［β1，β2，…，βn］，则A与B 有（）.

（A）对应的任何部分行向量组具有相同的线性相关性

（B）对应的任何部分列向量组具有相同的线性相关性

（C）对应的任何k阶子式同时为零或同时不为零

（D）对应的非齐次方程组Ax＝b和Bx＝b是同解方程组

6.5 已知向量组α1，α2，…，αs 线性相关，其中αi＝［ai1，ai2，…，ain］T，i＝1，2，…，s.则下列向量组可能线性无关的是（）.

（A）βi＝［ai2，ai1，ai3，…，ain］T，i＝1，2，…，s

（B）γi＝［ai1，ai1－ai2，ai3，…，ain］T，i＝1，2，…，s

（C）ξi＝［ai1，ai2，…，ai，n－1］T，i＝1，2，…，s

（D）ηi＝［ai1，ai2，…，ain，ai，n＋1］T，i＝1，2，…，s

6.6 （1）设n维向量α1，α2，α3，α4 线性无关，βi＝αi＋tα4（i＝1，2，3），证明β1，β2，β3 对任意t都线性无关；

（2）设n（n＞4）维向量α1，α2，α3，α4 满足＝0，βi＝αi＋iλiξ，i＝1，2，3，4，问λi（i＝1，2，3，4）满足什么条件时，对任意n维向量ξ，向量组β1，β2，β3，β4 总线性相关.

6.7 设齐次线性方程组有基础解系β1＝［b11，b12，b13，b14］T，β2＝［b21，b22，b23，b24］T，记α1＝［a11，a12，a13，a14］T，α2＝［a21，a22，a23，a24］T.

证明：向量组α1，α2，β1，β2 线性无关.

6.8设，令A＝［α1，α2，α3］，B＝［β1，β2］.

（1）问a，b为何值时，β1，β2 能同时由α1，α2，α3 线性表出，若能表出时，写出其表出式；

（2）问a，b为何值时，矩阵方程AX＝B有解，有解时，求出其全部解.

6.9 设，其中E 是n 阶单位矩阵，α＝［a1，a2，…，an］T≠0.

（1）计算A2，并求A－1；

（2）证明Aα，α线性相关.

6.10 设，问a，b，c为何值时，

向量组α1，α2，α3 与β1，β2，β3 是等价向量组，向量组等价时，求α1 由β1，β2，β3 线性表出的表出式及β1 由α1，α2，α3 线性表出的表出式.

6.11 设3维向量组α1，α2 线性无关，β1，β2 线性无关.

（1）证明存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2 线性表出，也可由β1，β2 线性表出；

（2）若α1＝［1，－2，3］T，α2＝［2，1，1］T，β1＝［－2，1，4］T，β2＝［－5，－3，5］T.求既可由α1，α2 线性表出，也可由β1，β2 线性表出的所有非零向量ξ.

6.12 已知A是3阶矩阵，A的每行元素之和为3，且线性齐次方程组Ax＝0有通解k1［1，2，－2］T＋k2［2，1，2］T，其中k1，k2 是任意常数，α＝［1，1，1］T.

（1）证明对任意的一个3维列向量β，向量Aβ和α 线性相关；

（2）若β＝［3，6，－3］T，求Aβ.

6.1 【解】应选（D）.

知r（A）≥2.但

不能得出r（A）＜3，故①是错误的.

由（*）式知线性无关，增加分量得仍线性无关.故②正确.

由（**）式知向量［a11，a12，a13］，［a21，a22，a23］，［a31，a32，a33］线性相关，但增加分量成β1，β2，β3 不能保证线性相关，故③不正确.由（**）式知α1，α2，α3 线性相关，④是正确的.故应选（D）.

6.2 【解】应选（C）.

方法一 因α1，α2，α3 满足

要求向量组α1＋aβ，α2＋bβ，α3线性相关，其中β是任意向量.利用（*）式，取常数k1＝1，k2＝－2，k3＝3，对向量组α1＋aβ，α2＋bβ，α3 作线性组合，得

（α1＋aβ）－2（α2＋bβ）＋3α3＝α1－2α2＋3α3＋（a－2b）β＝（a－2b）β.

故当a＝2b时，对任意的3维向量β均有α1＋aβ－2（α2＋bβ）＋3α3＝0，即向量组α1＋aβ，α2＋bβ，α3 线性相关.应选（C）.

方法二 α1＋aβ，α2＋bβ，α3 线性相关⇔r（α1＋aβ，α2＋bβ，α3）≤2.

不妨设α1，α2，α3，β均为列向量.对矩阵［α1＋aβ，α2＋bβ，α3］作初等列变换（不改变秩）有

故a＝2b时，r（α1＋aβ，α2＋bβ，α3）≤2，对任意的3维向量β，有α1＋aβ，α2＋bβ，α3 线性相关.应选（C）.

6.3 【解】应选（D）.

向量组（Ⅲ）：aα1＋bα4，aα2＋bα3，aα3＋bα2，aα4＋bα1 均是Ax＝0的解，且共4个，故

向量组（Ⅲ）是Ax＝0的基础解系⇔向量组（Ⅲ）线性无关.

由于向量组（Ⅰ）线性无关，则

故应选（D）.

（B），（C）是必要条件，并非充分，（A）既非充分又非必要，均应排除.

6.4 【解】应选（B）.

A经过初等行变换得B，对应齐次方程组Ax＝0和Bx＝0是同解方程组，且对应的任何部分列向量组所组成的线性方程组也是同解方程组，故A，B 中对应的任何部分列向量组有相同的线性相关性，故应选（B）.

而（A），（C），（D）均不成立.反例：取，则(www.chuimin.cn)

γ1，γ2 线性无关，但γ′1，γ′2线性相关，故（A）不成立；

又，其对应的余子式也不相等，故（C）不成立；

取，则Ax＝b有解，但Bx＝b无解，故（D）不成立.由排除法，应选（B）.

6.5 【解】应选（D）.n维向量αi后面增加了分量（即维数）成n＋1维向量ηi，讨论线性相关性时，相当于以αi为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程，有可能使方程组

η1x1＋η2x2＋…＋ηsxs＝0

变得只有零解，即使η1，η2，…，ηs 可能线性无关.故应选（D）.

（A），（B）相当于作初等变换，不改变向量组的秩，不改变向量组的线性相关性.

（C）中向量减少分量，仍保持线性相关.

6.6 （1）【证】设有数k1，k2，k3，使得

k1β1＋k2β2＋k3β3＝0，

代入已知条件，得

k1（α1＋tα4）＋k2（α2＋tα4）＋k3（α3＋tα4）＝0，

整理得

因已知α1，α2，α3，α4 线性无关，故

所以对任意t，β1，β2，β3 都线性无关.

（2）【解】设有数l1，l2，l3，l4，使得

l1β1＋l2β2＋l3β3＋l4β4＝0，

代入已知条件得

l1（α1＋λ1ξ）＋l2（α2＋2λ2ξ）＋l3（α3＋3λ3ξ）＋l4（α4＋4λ4ξ）＝0，

整理得

因已知，故上式对任意ξ成立，只需取

故λ1，λ2，λ3，λ4 满足λ1＋4λ2＋9λ3＋16λ4＝0时，对任意向量ξ，向量组β1，β2，β3，β4 总线性相关.

6.7 【证】由题设条件：β1，β2线性无关，r（α1，α2）＝2，α1，α2 线性无关，且β1，β2是方程组的解，满足

方法一 用线性无关定义证.

设有数k1，k2，k3，k4，使得

两边左乘αTi（i＝1，2），且利用（*）式得

（***）式的系数矩阵为

由r（A）＝r（ATA）及α1，α2 线性无关，知

方程组（***）只有零解，从而得k1＝k2＝0.

将k1＝k2＝0代入（**）式，因β1，β2 线性无关，得k3＝k4＝0，从而得证α1，α2，β1，β2 线性无关.

方法二 r（［α1，α2，β1，β2］）＝r（［α1，α2，β1，β2］T［α1，α2，β1，β2］）＝

故α1，α2，β1，β2 线性无关.

6.8 【分析】（1）β1，β2可同时由α1，α2，α3线性表出，则α1x1＋α2x2＋α3x3＝βi，i＝1，2，方程组都有解.

（2）方程AX＝B，将X，B 以列分块，设X＝［ξ1，ξ2］，B＝［β1，β2］，即A［ξ1，ξ2］＝［β1，β2］有解⇔Aξ1＝β1 且Aξ2＝β2 有解.

【解】 （1）对增广矩阵［A┊B］作初等行变换，得

①a≠3，b任意时，β1，β2 均可由α1，α2，α3 线性表出，且表出法唯一.

Aξ1＝β1 的解为x1＝－3，x2＝2，x3＝0，即

β1＝－3α1＋2α2.

Aξ2＝β2 的解为，即

②a＝3，b＝1时，β1，β2 均可由α1，α2，α3 线性表出且表出法不唯一.

Aξ1＝β1 有解k1［1，－2，1］T＋［－2，0，1］T，即

β1＝（k1－2）α1－2k1α2＋（k1＋1）α3，

其中k1 是任意常数.

Aξ2＝β2 有解k2［1，－2，1］T＋［1，0，0］T，即

β2＝（k2＋1）α1－2k2α2＋k2α3，

其中k2 是任意常数.

（2）由（1）知，①当a≠3，b任意时，AX＝B有唯一解，且

②当a＝3，b＝1时，AX＝B有无穷多解，且得

6.9 （1）【解】

故A可逆，且

（2）【证】由，得Aα＋2α＝0，由定义知Aα，α线性相关.

6.10 【解】将［α1，α2，α3┊β1，β2，β3］作初等行变换，有

向量组

故a＝1，b＝2，c＝－2.

当a＝1，b＝2，c＝－2时，

故｛α′1，α′2，α′3｝≅｛β′1，β′2，β′3｝，从而有｛α1，α2，α3｝≅｛β1，β2，β3｝.

求β1 由α1，α2，α3 线性表出的表出式，即解方程组

得通解为k［－1，－1，1］T＋［1，0，0］T，即β1＝（－k＋1）α1－kα2＋kα3，其中k是任意常数.

求α1 由β1，β2，β3 线性表出的表出式，即解方程组

得通解为l［－4，1，2］T＋［1，0，0］T，即α1＝（－4l＋1）β1＋lβ2＋2lβ3，其中l是任意常数.

6.11 （1）【证】因α1，α2，β1，β2均是3维向量，4个3维向量必线性相关，由定义，存在不全为零的数k1，k2，λ1，λ2，使得

若ξ＝0，则k1α1＋k2α2＝－λ1β1－λ2β2＝0.因α1，α2 线性无关，β1，β2 也线性无关，从而得出k1＝k2＝0，且λ1＝λ2＝0，这和k1，k2，λ1，λ2不全为零矛盾，故ξ≠0，所以存在既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出的非零向量ξ.

（2）【解】设ξ＝k1α1＋k2α2＝－λ1β1－λ2β2，则得齐次线性方程组k1α1＋k2α2＋λ1β1＋λ2β2＝0，将α1，α2，β1，β2 合并成矩阵，并作初等行变换，得

解得［k1，k2，λ1，λ2］＝k［－1，2，－1，1］，故既可由α1，α2线性表出，又可以由β1，β2线性表出的所有非零向量为

6.12 （1）【证】由题条件，A的每行元素之和为3，则

即A有特征值λ1＝3，对应的特征向量为ξ1＝［1，1，1］T.

Ax＝0有通解k1［1，2，－2］T＋k2［2，1，2］T，知A有特征值λ2＝λ3＝0，对应的特征向量为

ξ2＝［1，2，－2］T，ξ3＝［2，1，2］T.

因ξ1，ξ2.ξ3 线性无关，故任意3维列向量β均可由ξ1，ξ2，ξ3 线性表出，设

β＝x1ξ1＋x2ξ2＋x3ξ3，

从而有

得证Aβ和α 线性相关.

（2）【解】当β＝［3，6，－3］T时，令β＝x1ξ1＋x2ξ2＋x3ξ3，即解非齐次线性方程组

对（*）式的增广矩阵作初等行变换，得