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向量组等价与矩阵等价的区别及条件

2023-11-21 理论教育版权反馈

【摘要】：给出向量组（Ⅰ）：α1，α2，…，αs 线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.其等价的充要条件是r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）＝r（Ⅰ，Ⅱ）.向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念.矩阵等价要同型，当然行数、列数都要相等；向量组等价要同维，但向量个数可以不等.A，B同型时，ABr＝rPAQ＝B.αi，βj（i＝1，2，…，βt 这两个向量组中的某一个向量组可由另一个向量组线性表出r（α1，α2，…

给出向量组（Ⅰ）：α1，α2，…，αs；向量组（Ⅱ）：β1，β2，…，βt.

在αi（i＝1，2，…，s）与βj（j＝1，2，…，t）同维的条件下，若αi 均可由β1，β2，…，βt 线性表示，且βj 均可由α1，α2，…，αs 线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.

其等价的充要条件是r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）＝r（Ⅰ，Ⅱ）.

【注】（1）向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念.矩阵等价要同型，当然行数、列数都要相等；向量组等价要同维，但向量个数可以不等.

（2）A，B同型时，A≅B⇔r（A）＝r（B）⇔PAQ＝B（P，Q是可逆矩阵）.

（3）αi，βj（i＝1，2，…，s；j＝1，2，…，t）同维，则

｛α1，α2，…，αs｝≅｛β1，β2，…，βt｝

⇔｛α1，α2，…，αs｝与｛β1，β2，…，βt｝可以相互线性表出

⇔r（α1，α2，…，αs）＝r（β1，β2，…，βt），且可单方向表出，即只需知α1，α2，…，αs 与β1，β2，…，βt 这两个向量组中的某一个向量组可由另一个向量组线性表出

⇔r（α1，α2，…，αs）＝r（β1，β2，…，βt）＝r（α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt）（三秩相同）.

见例6.9.

例6.9 已知向量组(www.chuimin.cn)

（Ⅰ）：α1＝［1，1，4］T，α2＝［1，0，4］T，α3＝［1，2，a2＋3］T；

（Ⅱ）：β1＝［1，1，a＋3］T，β2＝［0，2，1－a］T，β3＝［1，3，a2＋3］T.

若向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价，求a的取值，并将β3 用α1，α2，α3 线性表示.

【解】记，对A施以初等行变换得

当a＝－1时，知

故β1 不能由α1，α2，α3 线性表示，所以向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）不等价.

当a＝1时，知

易知α1，α2 为向量组（Ⅰ）的极大线性无关组，β1，β2 为向量组（Ⅱ）的极大线性无关组，且

又可逆，故α1，α2 与β1，β2 等价，因此向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价，且β3＝3α1－2α2.

当a≠±1时，由于行列式|α1，α2，α3|＝1－a2≠0，|β1，β2，β3|＝2（a2－1）≠0，所以向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价.又

所以β3＝α1－α2＋α3.