设n阶矩阵A，若存在n阶可逆矩阵P，使得P－1AP＝Λ，其中Λ 是对角矩阵，则称A可相似对角化，记A～Λ，称Λ 是A 的相似标准形.于是可知，若A可相似对角化，即P－1AP＝Λ，其中P可逆，等式两边同时左乘P，有AP＝PΛ，记由P可逆，则ξ1，ξ2，…＝λn＝0，A的特征值全是零.若A能与对角矩阵Λ 相似，则Λ 的主对角线元素为A......
2023-11-21
秩的公式见第4讲-张宇线性代数9讲
【摘要】：，tn－11］，α2＝［1，t2，…，tn－1r］，其中t1，t2，…＋kr，k1t1＋k2t2＋…，tr－1r］.由上述①的证明知β1，β2，…，tn－1r］，分别是向量β1，β2，…，1，－1］T，其中k是任意常数.
秩的公式见第4讲.
见例6.8.
例6.5设α1，α2，α3 均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1＋kα3，α2＋lα3 线性无关是向量组α1，α2，α3 线性无关的（）.
（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件
【解】应选（A）.
先看必要性.设λ1（α1＋kα3）＋λ2（α2＋lα3）＝0，整理得
λ1α1＋λ2α2＋（kλ1＋lλ2）α3＝0，
已知α1，α2，α3 线性无关，则λ1＝λ2＝kλ1＋lλ2＝0，故α1＋kα3，α2＋lα3 线性无关.
再看充分性.若α1＋kα3，α2＋lα3 线性无关，不一定有α1，α2，α3 线性无关.例如
显然，α1＋kα3，α2＋lα3 线性无关，而α1，α2，α3 线性相关.故α1＋kα3，α2＋lα3 线性无关是α1，α2，α3 线性无关的必要非充分条件，因此选（A）.
【注】这是一道选择题，可直接取k＝l＝0，此时显然向量组α1，α2 线性无关是向量组α1，α2，α3 线性无关的必要非充分条件.
例6.6 设A是3阶方阵，α1，α2，α3 均为3维列向量，其中α1≠0，Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3 线性无关.
【证】用定义证.设有数k1，k2，k3，使
①式两边左乘A，且利用题设条件，得
②－①，得
③式两边左乘A，利用题设条件，得
④－③，得 k3α1＝0.
因α1≠0，得k3＝0，代入③式，得k2＝0，将k3＝k2＝0，代入①式，得k1＝0，故①式成立，必须k1＝k2＝k3＝0，得证α1，α2，α3 线性无关.
例6.7 设向量组α1＝［1，t1，…，tn－11］，α2＝［1，t2，…，tn－12］，…，αr＝［1，tr，…，tn－1r］，其中t1，t2，…，tr 是互不相同的数，且r≤n.证明：α1，α2，…，αr 线性无关.
【证】设存在一组数，使得k1α1＋k2α2＋…＋krαr＝0，即
k1［1，t1，…，tn－11］＋k2［1，t2，…，tn－12］＋…＋kr［1，tr，…，tn－1r］＝［0，0，…，0］，
整理得
［k1＋k2＋…＋kr，k1t1＋k2t2＋…＋krtr，…，k1tn－11＋k2tn－12＋…＋krtn－1r］＝［0，0，…，0］，
于是得齐次线性方程组
①当r＝n时，方程组（*）的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为范德蒙德行列式
因为t1，t2，…，tr 互不相同，故|A|≠0，方程组（*）只有零解，即k1＝k2＝…＝kr＝0，故向量组α1，α2，…，αr 线性无关.(www.chuimin.cn)
②当r＜n时，令
β1＝［1，t1，t21，…，tr－11］，
β2＝［1，t2，t22，…，tr－12］，
……
βr＝［1，tr，t2r，…，tr－1r］.
由上述①的证明知β1，β2，…，βr 线性无关，而向量
α1＝［1，t1，…，tr－11，…，tn－11］，
α2＝［1，t2，…，tr－12，…，tn－12］，
……
αr＝［1，tr，…，tr－1r，…，tn－1r］，
分别是向量β1，β2，…，βr 对应相同位置添加若干个分量所得的新向量组，由本讲“一”的“2的定理7”知，α1，α2，…，αr 线性无关.
例6.8 设α1，α2，…，αs 是s个n（n≥s）维列向量，已知线性方程组
只有零解，问齐次线性方程组
何时只有零解，说明理由；何时有非零解，有非零解时，求出②的通解.
【分析】已知
方程组①只有零解⇔r（α1，α2，…，αs）＝s⇔α1，α2，…，αs 线性无关.
同样，
方程组②只有零解（有非零解）⇔r（α1＋α2，α2＋α3，…，αs＋α1）＝s（＜s）
⇔α1＋α2，…，αs＋α1 线性无关（线性相关）.
【解】方程组①只有零解
记方程组②的系数矩阵为B，则
其中
当s＝2m＋1时，|C|＝2≠0，C是可逆矩阵，则
r（B）＝r（C）＝s⇔Bx＝0只有零解.
当s＝2m 时，|C|＝0，r（B）＝r（AC）≤r（C）＜s.对于Bx＝ACx＝0，因Ax＝0只有零解，故Bx＝ACx＝0的同解方程组是Cx＝0.对矩阵C作初等行变换，得
得r（C）＝2m－1，故由一个非零向量ξ可组成Cx＝0的基础解系，且ξ＝［1，－1，1，－1，…，1，－1］T，故②的通解为k［1，－1，1，－1，…，1，－1］T，其中k为任意常数.
【注】当s＝2m 时，或由观察α1＋α2－（α2＋α3）＋（α3＋α4）－…－（α2m＋α1）＝0得方程组有解［1，－1，1，－1，…，1，－1］T，且r（α1＋α2，α2＋α3，…，αs＋α1）＝r（C）＝2m－1，故②有通解k［1，－1，1，－1，…，1，－1］T，其中k是任意常数.
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2023-11-21
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2023-11-21
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