（1）用阶梯数（用定义）.
见例4.1.
（2）用公式.
见例4.2至例4.7.
例4.1已知
，则以下（a，b）的取值能使得A与B等价的是（）.
（A）（3，－2） （B）（－3，－1） （C）（3，1） （D）（－3，1）
【解】应选（D）.
用初等变换将A，B分别化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵的秩.
将A的第4行乘以（－1）分别加到第1，2，3行，有
将A1 的第2，3，4列加到第1列，有
将A2 的第1，2，3行都乘以
加到第4行，有
交换A3 的第1，3行，有
阶梯数为3，故r（A）＝3.
又
由于A与B 等价，故r（B）＝r（A）＝3.只有（D）中的a＝－3，b＝1，使得
阶梯数为3，故r（B）＝3，故选（D）.
例4.2 设
，若r（A*）＝1，则a＝（）.
（A）1 （B）3 （C）1或3 （D）无法确定
【解】应选（C）.
由r（A*）＝1得r（A）＝3，则|A|＝0，即
得a＝1或a＝3，经验算，此时均满足r（A）＝3，故选（C）.
例4.3 设A是5阶方阵，且A2＝O，则r（A*）＝________.
【解】应填0.
因
A2＝AA＝O，r（A）＋r（A）≤5，r（A）≤2，
从而
A*＝O，r（A*）＝0.
例4.4 已知r（A3×3）＝2，r（AB）＝1，
，则a＝________.
【解】应填
由题意知，r（AB）＜r（A），若r（B）＝3，则r（AB）＝2，与已知矛盾，故r（B）＜3，则
例4.5 设
，若Ax＝0的基础解系中只有1个解向量，则a＝________.
【解】应填
【注】亦可命制成“Ax＝0的任一解均可由一个3维非零解向量ξ线性表示”，答案不变.
例4.6 设A是3阶矩阵，β1，β2，β3 是互不相同的3维列向量，且都不是方程组Ax＝0的解，记B＝［β1，β2，β3］，且满足r（AB）＜r（A），r（AB）＜r（B），则r（AB）＝（）.
（A）0（B）1（C）2（D）3
【解】应选（B）.
已知βi（i＝1，2，3）都不是Ax＝0的解，即AB≠O，r（AB）≥1.又r（AB）＜r（A），则矩阵B不可逆（若B可逆，则r（AB）＝r（A），这和r（AB）＜r（A）矛盾），r（B）≤2，从而r（AB）＜r（B）≤2，即r（AB）≤1，从而有r（AB）＝1.
【注】B可逆⇒r（AB）＝r（A）.但反之，r（AB）＝r（A）⇒B可逆，不一定成立.如A＝O，则有r（AB）＝r（A），B可任意.
例4.7 设A，B为n 阶矩阵，记r（X）为矩阵X 的秩，［X Y］表示分块矩阵，则（）.
（A）r（［A AB］）＝r（A） （B）r（［A BA］）＝r（A）
（C）r（［A B］）＝max｛r（A），r（B）｝（D）r（［A B］）＝r（［ATBT］）
【解】应选（A）.
方法一 一方面，A是［A AB］的子矩阵，因此r（［A AB］）≥r（A）.
另一方面，［A AB］是A 与［E B］的乘积，即［A AB］＝A［E B］，因此r（［A AB］）≤r（A），故r（［A AB］）＝r（A）.选（A）.
方法二 设C＝AB，则C的列向量可由A 的列向量线性表示，故r（［A AB］）＝r（［A C］）＝r（A），选（A）.
对于选项（B），（C），（D）可举出反例.
取
则
从而r（A）＝1，r（［A BA］）＝
，有r（A）≠r（［A BA］），知选项（B）错误；
取
，则r（A）＝r（B）＝1，而
知选项（C）错误；
取
，则
，而
知选项（D）也错误.
【注】（1）若Am×nBn×s＝O，将B，O按列分块，有
AB＝A［β1，β2，…，βs］＝［Aβ1，Aβ2，…，Aβs］＝［0，0，…，0］，
则Aβi＝0（i＝1，2，…，s），故βi（i＝1，2，…，s）是Ax＝0的解.
（2）设矩阵Am×n，Bn×s，若AB＝C，则C是m×s矩阵.将B，C按行分块，有
则γi＝ai1β1＋ai2β2＋…＋ainβn（i＝1，2，…，m），故C的行向量是B 的行向量的线性组合.类似地，若A，C按列分块，则有
则ξi＝α1b1i＋α2b2i＋…＋αnbni（i＝1，2，…，s），故C的列向量是A 的列向量的线性组合.(www.chuimin.cn)
4.1 设A，B，C，D是四个4阶矩阵，其中A，D是非零矩阵，B，C是可逆矩阵，且满足ABCD＝O，若r（A）＋r（B）＋r（C）＋r（D）＝r，则r的取值范围是（）.
（A）r＜10 （B）10≤r≤12 （C）12＜r＜16 （D）r≥16
4.2 设A是4×3矩阵，B是3×4的非零矩阵，满足AB＝O，其中
则必有（）.
（A）当t＝3时，r（B）＝1 （B）当t≠3时，r（B）＝1
（C）当t＝3时，r（B）＝2 （D）当t≠3时，r（B）＝2
4.3 设A是3阶非零矩阵，满足A2＝A，且A≠E，则必有（）.
（A）r（A）＝1 （B）r（A－E）＝2
（C）［r（A）－1］［r（A－E）－2］＝0（D）［r（A）－1］［r（A－E）－1］＝0
4.4 设A，B，C均是3阶方阵，满足AB＝C，其中
则必有（）.
（A）a＝－1时，r（A）＝1 （B）a＝－1时，r（A）＝2
（C）a≠－1时，r（A）＝1（D）a≠－1时，r（A）＝2
4.5 设A，B是3阶矩阵，A是非零矩阵，且满足AB＝O，其中
，则（）.
（A）a＝－1时，必有r（A）＝1 （B）a＝2时，必有r（A）＝2
（C）a＝－1时，必有r（A）＝2（D）a＝2时，必有r（A）＝1
4.6 设A，B均是n 阶矩阵，满足AB＝A＋B，则r（AB－BA＋A－E）＝________.
4.1 【解】应选（B）.
因A≠O，D≠O，故r（A）≥1，r（D）≥1，r（A）＋r（D）≥2.由|B|≠0，|C|≠0，故r（B）＝4，r（C）＝4.
从而有 r（A）＋r（B）＋r（C）＋r（D）≥10.
又由ABCD＝O，其中B，C可逆，得r（AB）＋r（CD）＝r（A）＋r（D）≤4.从而有
r（A）＋r（B）＋r（C）＋r（D）≤12.
故 10≤r≤12.
4.2 【解】应选（B）.
由题设AB＝O，知r（A）＋r（B）≤3（3是A的列数或B 的行数）.
因B是非零矩阵，有r（B）≥1，从而有1≤r（B）≤3－r（A）.
又
当t＝3时，r（A）＝1，故1≤r（B）≤2.r（B）＝1或r（B）＝2，故（A），（C）不成立.
当t≠3时，r（A）＝2，故1≤r（B）≤1，故r（B）＝1.
故应选（B）.
4.3 【解】应选（D）.
已知A是3阶非零矩阵，则A≠O，r（A）≥1.
A≠E，A－E≠O，r（A－E）≥1，
因A2＝A，由本讲中“二（11）”的结论，得r（A）＋r（A－E）＝3.
故矩阵A和A－E的秩r（A）和r（A－E）一个是1，另一个是2，至少有一个的秩为1，但不知道哪一个的秩为1，故（A），（B），（C）均是错误的，正确选项是（D）.
4.4 【解】应选（C）.
显然r（C）＝1.因
当a≠－1时，有r（B）＝3.B可逆，因AB＝C，故r（A）＝r（AB）＝r（C）＝1.故应选（C）.
因（C）成立，显然（D）不能成立.（A），（B）也不能成立，可举反例如下.
当a＝－1时，可取
，有AB＝C，此时r（A）＝1.
也可取
，也有AB＝C，此时r（A）＝2.
故（A），（B）均不成立.
4.5 【解】应选（D）.
由AB＝O，知r（A）＋r（B）≤3.又r（A）≥1，故r（B）＜3.由已知，有
因此a＝－1或者a＝2.
当a＝－1时，r（B）＝1，则r（A）＝1或r（A）＝2.故（A），（C）不成立.
当a＝2时，r（B）＝2，必有r（A）＝1.（D）成立，（B）不成立，故应选（D）.
4.6 【解】应填n.
由题设条件AB＝A＋B，得
AB－A＝A（B－E）＝B，
A（B－E）－（B－E）＝E，（A－E）（B－E）＝E，
从而知A－E 和B－E 是互逆矩阵，且有
（B－E）（A－E）＝BA－A－B＋E＝E，BA＝A＋B，
从而知AB＝BA，且r（A－E）＝r（B－E）＝n，故
r（AB－BA＋A－E）＝r（A－E）＝n.
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