性质1 行列互换，其值不变，即|A|＝|AT|.性质2 行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零.性质3 行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零.性质4 行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即【注】等式从右到左是两个行列式相加的运算.如果两个行列式的其他元素对应相等，只有一行（列）不同时，可以相加，相加时其他元素不变，不同元素的行（列）对应相加即可.性......
2023-11-21
用相似理论求An的表达式-张宇线代9讲
【摘要】：的表达式.其中，令＝（λ－2）（λ－3）＝0，得λ1＝2，λ2＝3.对于λ1＝2，x＝0，即，得基础解系对于λ2＝3，x＝0，即，得基础解系
（与第8讲综合，考生需学习相关知识后再研读此点）
若A～B，即P－1AP＝B，则A＝PBP－1，An＝PBnP－1.
见例3.7.
若A～Λ，即P－1AP＝Λ，则A＝PΛP－1，An＝PΛnP－1.
见例3.8，例3.9.
例3.1 设
，则A10＝________.
【解】应填
例3.2 设
，则A11＝________.
【解】应填
试算A2，找规律
，则
【注】（1）对于
，若a＋d＝0，且a2＋bc＝1，则A2＝E.
（2）在第8讲会知道，满足A2＝E 的实矩阵A 均可相似对角化.
例3.3 设
【解】应填
故A9＝（A2）4A＝A4A＝（A2）2A＝A2A＝A2＝A＝
【注】在第8讲会知道，满足A2＝A的实矩阵A 均可相似对角化.
例3.4 设
，则A13＝________.
【解】应填
试算A2，找规律，由于
，则
＝E，故
例3.5 设
，则A10＝________.
【解】应填
记A＝E＋B，其中
，故
【注】因A不可相似对角化，故不能用An＝PΛnP－1求An.(www.chuimin.cn)
例3.6 设
则B3AC5＝________.
【解】应填
B3A是将A 的第1行的（－1）倍加到第2行，重复3次，故
，B3AC5是将B3A的第1列与第2列互换，重复5次，即只互换1次，故
例3.7 设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB＝B2－BC，其中
，则A5＝________.
【解】应填
由
，故B可逆，则由AB＝B2－BC＝B（B－C），得A＝B（B－C）B－1，于是
例3.8 设
，a，b，c为互异的实数，计算An.
【解】记
，其中
，则
令|λE－B|＝0，即（λ－a）（λ－b）（λ－c）＝0，得λ1＝a，λ2＝b，λ3＝c.
对于λ1＝a，由（aE－B）x＝0，即
＝0，得基础解系ξ1＝［1，0，0］T；
对于λ3＝c，由（cE－B）x＝0，即
＝0，得基础解系ξ3＝［0，－1，1］T.
令P＝［ξ1，ξ2，ξ3］，则P－1BP＝Λ＝
，于是B＝PΛP－1，则
又
，故
例3.9 已知两个数列｛an｝，｛bn｝，满足
a1＝1，b1＝－1，an＝an－1＋2bn－1，bn＝－an－1＋4bn－1，
求an，bn，n＝1，2，…的表达式.
其中
，令
＝（λ－2）（λ－3）＝0，得λ1＝2，λ2＝3.
对于λ1＝2，（2E－A）x＝0，即
，得基础解系
对于λ2＝3，（3E－A）x＝0，即
，得基础解系
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2023-11-21
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2023-11-21
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