然后，徒手目估通过点群中心连成一条光滑曲线，即得水文变量x的经验频率曲线。但多数站实测水文资料年限较短，经验频率曲线往往不能满足设计的要求。例如，n=30年，系列中最大值的经验频率P为3.2%，当设计上需要推求稀遇频率的设计值xP时，就必须将经验频率曲线进行外延。图3-10某站年雨量经验频率曲线......
2023-11-20
理论频率曲线-桥涵水文学
【摘要】：所谓理论频率曲线指用数学方程式表示的频率曲线。使用时只要根据给定的Cv及Cs，就可查得指定P的kP值，故按下式计算亦可求得xP，即由此可见，只要已知统计参数、Cv、Cs，利用式或式，以及ΦP值表或kP值表，即可很方便地求出与各种P所对应的xP，也就可绘制出一条与已知、Cv、Cs对应的所谓理论频率曲线——皮尔逊Ⅲ型分布曲线。
所谓理论频率曲线指用数学方程式表示的频率曲线。因为水文变量的总体是未知的，而且又无法通过人工实验或理论分析等途径取得，所以分布函数的确切型式也是未知的，人们只能从数理统计的一些已知线型中，选择与水文现象配合较好的线型，借用于水文实践中。因此，水文上所谓的理论频率曲线，并非是根据水文现象本身的规律从理论上推断出来的，而只不过是为了区别于前述经验频率曲线的一种习惯说法。根据我国多年使用经验，认为与水文资料配合较好的线型是皮尔逊Ⅲ型曲线（Pearson—Ⅲ曲线），这种曲线在我国水文工作中被广泛采用。另外，耿贝尔（E.J.Gumbel）曲线（第Ⅰ型极值分布曲线）也适用于我国洪水频率分析，特别在最高、最低潮水位的频率分析时普遍应用。
1.皮尔逊Ⅲ型分布曲线及其应用
英国生物学家皮尔逊通过很多资料的分析研究，提出一种概括性的曲线族，包括13种分布曲线，其中第Ⅲ型曲线被引入水文计算中，成为当前水文计算中常用的频率曲线。
皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（图3-11），数学上称为伽玛分布，其概率密度函数为
图3-11 皮尔逊Ⅲ型概率密度曲线
式中 Γ（α）——α的伽玛函数；
α、β、a0——皮尔逊Ⅲ型分布的形状、尺度和位置参数，α＞0、β＞0。
可以推证，上式中的这三个参数α、β、a0与总体的三个统计参数
、Cv、Cs具有下列关系：
显然，当三个统计参数确定以后，该密度函数也随之确定。
皮尔逊Ⅲ型概率密度曲线的形状主要决定于参数Cs（或α），从图3-12可以区分为以下四种形状：
（1）当0＜α＜1，即2＜Cs＜∞时，密度曲线呈乙形，以x轴和x=b直线为渐近线，如图3-12（a）所示。
（2）当α=1，即Cs=2时，密度曲线退化为指数曲线，仍呈乙形，但左端截止在曲线起点，右端仍伸到无限，如图3-12（b）所示。
（3）当1＜α＜2，即
时，密度曲线呈铃形，左端截止在曲线起点，且在该处与直线x=b相切，右端无限，如图3-12（c）所示。
（4）当α＞2，即
时，密度曲线呈铃形，起点处曲线与x轴相切，右端无限，如图3-12（d）所示。以上各种形状的曲线都是对正偏而言的。
在水文计算中，需要推求的是频率分布曲线，因此还必须对密度函数进行积分。设x大于xP的频率为P（图3-11中的阴影部分），则
图3-12 皮尔逊Ⅲ型密度曲线形状变化图
频率计算时，一般是要计算已指定的频率P所对应的随机变量取值xP。当
、Cv、Cs已定，则xP仅与P有关，就是说，可以唯一地由P来计算xP。但是直接由积分式（3-20）计算是非常繁杂的，因此可将此积分式进行必要的变量代换，事先制成数表，就可使计算工作大大简化。
取标准化变量
（称Φ为离均系数），则Φ的均值为零，Φ的标准差为1。这样经标准化变换后，式（3-20）中被积函数就只含有一个待定参数Cs（其他两个参数
、Cv都包含在Φ中），即
因而只要假定一个Cs值，便可算出一组P和ΦP的对应值。假定不同的Cs值，求得各种P—ΦP关系，就能制成皮尔逊Ⅲ型曲线的离均系数ΦP值表（见本书附表1）。
频率计算时，由给定的Cs及P查ΦP值表，求得ΦP，然后将ΦP及其他两个已知的统计参数
、Cv代入下式就可计算出xP，即
令模比系数
，则由式（3-22）得kP=ΦPCv+1。因此通常还可进一步制成皮尔逊Ⅲ型曲线的kP值表（见本书附表2）。使用时只要根据给定的Cv及Cs（Cs以Cv的若干倍计），就可查得指定P的kP值，故按下式计算亦可求得xP，即
由此可见，只要已知统计参数
、Cv、Cs，利用式（3-22）或式（3-23），以及ΦP值表或kP值表，即可很方便地求出与各种P所对应的xP，也就可绘制出一条与已知
、Cv、Cs对应的所谓理论频率曲线——皮尔逊Ⅲ型分布曲线。
【例3-1】 根据某地区年雨量资料，已求得统计参数
，Cv=0.50，Cs=2Cv=1.0，若该地年雨量的分布符合皮尔逊Ⅲ型分布，试求P=1%时的年雨量x1%。
解：由Cs=1.0，P=1%，查附表1，得ΦP=3.02，故按式（3-22）可得
(www.chuimin.cn)
或由 Cv=0.50，Cs=2Cv，P=1%，查附表2，得kP=2.51，按式（3-23），得
2.耿贝尔分布曲线及其应用
耿贝尔（E.J.Gumbel）分布又称极值Ⅰ型分布曲线，它的分布曲线是从极值分布律得来的。极值分布是指样本极大值或极小值的分布函数。耿贝尔分布已普遍应用于海洋潮汐最高、最低设计潮水位的频率分析计算中。对于耿贝尔极大值分布，随机变量x的密度函数具有如下形式：
式中 α、x0——两个分布参数。
经积分，分布函数为
大于和等于某一随机变量xP的累积频率为P（x≥xP），累积频率函数即频率分布函数为
经推导可得到给定频率P的随机变量xP为
式中 xP——给定频率P相应的随机变量；
—随机变量系列的均值
；
σ——随机变量系列的均方差
；
λPn——与频率P和系列容量n有关的参数，可由本书附表6查取。
式（3-27）中的符号，分析年最高潮水位系列时为正（+），分析年最低潮水位系列时为负（-）；洪水系列时为正（+）。
计算最高潮水位系列和洪水系列的经验频率时，xi按递减次序排列；计算最低潮水位系列的经验频率时，xi按递增次序排列。
【例3-2】 已知某海湾22年的年最高潮水位观测资料见表3-4，要求推算重现期为100年和50年的最高潮位。
解：
（1）将资料按递减次序排列，按均值公式计算各项资料的经验频率，见表3-4。
表3-4 某海湾22年的年最高潮水位观测资料
（2）年最高潮位的均值
：
（3）均方差σ=19.87cm。
（4）按附表6查出λPn：
n=22年，T=100年，即P=1%，λPn=3.788
n=22年，T=50年，即P=2%，λPn=3.139
（5）不同频率的高潮位：
当P=1%时，
当P=2%时，
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2023-11-20
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