频率分布特性|桥涵水文学

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：根据表3-1的计算结果，以流量为横坐标，频率为纵坐标，可绘出流量与频率关系的直方图，表示年最大流量系列的频率分布。图3-1流量与频率关系的直方图表3-1频率及累积频率计算表注各组区间均不包括其上限数值。

随机变量是随机事件试验结果的函数，每一个随机变量的取值，都对应着一定的概率，这是随机变量所具有的特性。一个随机变量系列，其中变量与概率之间的变化关系（即不同变量的概率分布情况）——概率分布，也具有一定的规律性，这就是随机变量的统计规律，也就是随机事件的客观规律性。水文现象都是复杂随机事件，只能用频率近似地代替概率；通常就利用已有的实测水文资料组成一个样本，推求变量与频率之间的变化关系（即不同变量的频率分布情况）——频率分布，近似地代表概率分布。因此，频率分布能近似地显示出随机变量的统计规律，可据以推断复杂随机事件的客观规律性。

实测水文资料（数值）都是比较散乱的，必须加以分析整理，才能显示一定的规律性，水文资料属于连续型随机变量，可以在区间内取一切值，但实际上，观测次数是有限的，观测数值的精确度也是有限的，不可能对区间内的一切取值都进行计算；一般以等区间分组（区间间隔称为组距），并按由大到小的递减次序排列，然后进行统计计算。现以某水文站75年的年最大流量实测资料为例，进行分析计算，见表3-1（组距为100m3/s）。为了便于分析流量出现的规律性，采用相对数字（频率或累积频率）表示其出现次数。频率是各组出现次数与总次数的比值，表示每组所在区间的流量值出现的可能程度；累积频率是各组累积出现次数与总次数的比值，表示等于和大于该组所在区间的流量值出现的可能程度，均以百分数计。

根据表3-1的计算结果，以流量（x）为横坐标，频率为纵坐标，可绘出流量与频率关系的直方图（图3-1），表示年最大流量系列的频率分布。数理统计法中，为了便于数学上的分析，通常以频率密度为纵坐标，绘成频率密度直方图（图3-1）。频率密度是频率在区间内的平均值（其因次为x因次的倒数），若组距为Δx，区间的频率为ΔP，则频率密度为（组距无穷小时的极限——，就是概率密度）；频率密度直方图表示频率的平均分布，而且图中各矩形面积表示各区间的频率，即。若流量资料的实测次数（年数）趋于无穷大，组距趋于无穷小，则图3-1将形成一条中间高两侧低的偏斜铃形曲线，如图中虚线所示，称为频率密度曲线（简称为密度曲线）；若令其纵坐标 pagenumber_ebook=64,pagenumber_book=58 ，则f（x）即为密度曲线的函数，称为密度函数（表示点x处的频率密度），而且某一区间（x2～x1）的频率应为该区间密度曲线以下的面积，即。图3-1中的密度曲线显示出年最大流量的统计规律，即：特大的和特小的流量出现次数都很少，接近平均值的流量出现次数较多；而且经验证明，绝大多数的水文资料系列，都具有这样的规律性。因此，密度曲线和密度函数可以描述连续型随机变量的统计规律。

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图3-1　流量与频率关系的直方图

表3-1　频率及累积频率计算表

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注　各组区间均不包括其上限数值。

若以流量（x）为纵坐标，累积频率为横坐标，则可绘出流量与累积频率关系的阶梯折线图（图3-2），表示年最大流量的累计频率分布。流量的实测次数趋于无穷大，组距趋于无穷小时，图3-2将形成一条中间平缓两侧陡峭的横置S形曲线，如图中虚线所示，称为频率分布曲线（简称为分布曲线）；若令F（x）为分布曲线的函数，称为分布函数，并由累计频率的定义可知F（x）=，所以分布函数可由密度函数积分而得。图3-2中的分布曲线同样显示年最大流量的统计规律，因而分布曲线和分布函数也可以描述连续型随机变量的统计规律。