石油消耗量问题的解决方案

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：一、石油危机石油是国家的能源支柱，是国家经济活动的血液，是社会发展与进步的保障.在全球经济高速发展的今天，世界各国对石油的需求量越来越大.但是，全球石油存量却是一个有限值，根据经济学家及科学家的估计，到2050年左右，石油资源将开采殆尽.面对严峻的能源短缺形势，目前人们正在积极寻找新的替代能源，这是一项复杂、艰巨而又漫长的工作.在新能源体系尚未建立之前，在不远的将来，能源危机将席卷全球，势必造成工

一、石油危机

石油是国家的能源支柱，是国家经济活动的血液，是社会发展与进步的保障.在全球经济高速发展的今天，世界各国对石油的需求量越来越大.但是，全球石油存量却是一个有限值，根据经济学家及科学家的估计，到2050年左右，石油资源将开采殆尽.面对严峻的能源短缺形势，目前人们正在积极寻找新的替代能源，这是一项复杂、艰巨而又漫长的工作.在新能源体系尚未建立之前，在不远的将来，能源危机将席卷全球，势必造成工、农业生产大幅萎缩，经济活动日渐萧条，人民生活水平严重倒退.为防止本国经济危机的发生，不排除某些军事强国为了抢占剩余石油资源而发动战争，结局难以想象.现在，我们要做的工作是：管理好和利用好石油资源，这就需要我们对过去历年石油的消耗量进行统计.

二、原函数与不定积分的概念

现在我们提出这么一个问题：试计算从2010年到2019年，全球石油消耗总量.

有人会认为这个问题不难，查阅统计资料，直接把每年的消耗数据相加即可.但是，如果某年或某些年的数据未知，此时又怎么办？对于此种情况，我们必须从量的方面进行分析.在这段时间里，假设在t时，石油的消耗量为Q=Q（t）.通过查阅统计资料，可以确定出石油的消耗率，它是时间t的函数，记为f（t）.在这里，如果能找出消耗量Q（t）与时间t的函数关系，那么我们的问题就迎刃而解了.

由导数的定义知，表示石油的消耗率，因此

即消耗量Q（t）的导数等于消耗率f（t）.下面我们探讨满足上述关系的Q（t）的一般求法.在这里，把具有这种关系的函数Q（t）叫作函数f（t）的一个原函数，定义如下：

定义1 设函数f（x）在区间I上有定义，如果存在函数F（x），使得对任意x∈I，都有

则称F（x）是f（x）的一个原函数.

例如，因为（2x）′=2x ln 2，故2x是2x ln 2的一个原函数.

关于原函数，我们首先要问：是不是所有的函数f（x）都有原函数呢？关于此，我们有下面结论.

定理1（原函数存在定理）如果函数f（x）在区间I上连续，则f（x）在该区间上的原函数必存在.

其次，我们要问：如果一个函数有原函数，那么它有多少个原函数？

事实上，设F（x）是f（x）的一个原函数，C为任意的常数，因为

所以F（x）+C都是f（x）的原函数.这说明，如果f（x）有一个原函数，那么它便有无穷多个原函数.

最后，我们要问：函数f（x）除了F（x）+C这样的原函数外，还有没有其他原函数存在？回答是否定的.证明如下：

假设G（x）也是f（x）的一个原函数，则G′（x）=f（x）.

上式表明，F（x）+C表示函数f（x）的全部原函数.f（x）的全部原函数F（x）+C叫作函数f（x）的不定积分，定义如下：

定义2 在区间I内，若F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的全部原函数F（x）+C称为f（x）在区间I内的不定积分，记为∫f（x）dx，即

其中，“∫”称为积分号；f（x）称为被积函数；f（x）dx称为被积表达式；x称为积分变量.

三、基本积分表

由于不定积分是求导（或微分）的逆运算，因此根据导数的基本公式，可得相应的积分公式.

以上七个公式是求不定积分的基础，必须牢记.

四、不定积分的性质(www.chuimin.cn)

性质1 微分运算和积分运算互为逆运算.

性质2 两个函数代数和的积分，等于这两个函数积分的代数和.

性质3 被积函数中的非零常数因子可提到积分号前.

下面举几个利用基本积分表和不定积分性质求不定积分的例子.

例6 设曲线经过点（1，2），其上任何一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.

解设所求曲线方程为y=f（x），依题意

即函数f（x）是2x的一个原函数，因为f（x）的所有原函数为

例7 一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2（m/s），问：

（1）在3 s后物体离出发点的距离是多少？

（2）走完1 000 m需要多少时间？

解设物体的运动规律为s=s（t），依题意

将t=0，s=0代入上式得C=0，于是，物体的运动规律为

（1）在3 s后物体离出发点的距离是

即物体走完1 000 m需要10 s时间.

例6、例7表明：利用不定积分知识确实能够解决一些实际问题，但是，这需要我们掌握必要的不定积分的积分方法.另外，不定积分的计算比较灵活，需要大家多看多练.

课程思政：

石油消耗是一个世界性的问题，应该引起大家的关注.尤其在当前面临石油将要消耗殆尽和欧美等国对我国使用石油采取围堵、打压等不利形势下，我国在石油开采和石油进口方面势必面临较大的困难，对此，我们应有心理准备.在新能源体系建立之前，一方面，我们要同欧美一些老牌帝国主义做坚决的斗争，争取我国合理使用石油资源的权利；另一方面，我们应该崇尚厉行节约的精神，合理使用现有的石油资源.

习题2-7

1.设x3是函数f（x）的一个原函数，求函数f（x）.

2.已知，求函数f（x）.

3.求下列不定积分：

4.一曲线通过点（e2，3），且该曲线上任何一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线方程.

5.已知质点做直线运动，其速度v=2t+1（m/s），且质点从原点开始运动.试求质点的运动方程，并求质点在5 s内经过的路程.

石油消耗量问题的解决方案

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