【主要内容】计算函数的导数的基础是求导基本公式和四则运算法则.求导基本公式：（1）C′=0（C是常数），（2）（xμ）′=μxμ-1，（3）（ax）′=axlna（常数a>0但a≠1），特别地，（ex）′=ex，（4），特别地，，（5）（sinx）′=cosx， （6）（cosx）′=-sinx，（7）（tanx）′=sec2x， （8）（cotx）′=-csc2x，（9）（secx）′=secx......
2023-10-27
高阶导数隐函数和参数方程的求导方法
【摘要】：一、高阶导数在变速直线运动中，位置函数s=s对时间t的导数是速度函数v=v，而v=v对t的导数就是加速度，即加速度是位置函数的导数的导数.这种导数的导数称为s=s对时间t的二阶导数.一般地，如果函数y=f的导数仍是x的可导函数，那么y′=f′的导数，就叫作原来的函数y=f的二阶导数，记作即类似地，二阶导数的导数叫三阶导数，三阶导数的导数叫四阶导数，…
一、高阶导数
在变速直线运动中，位置函数s=s（t）对时间t的导数是速度函数v=v（t），而v=v（t）对t的导数就是加速度，即加速度是位置函数的导数的导数.这种导数的导数称为s=s（t）对时间t的二阶导数.
一般地，如果函数y=f（x）的导数仍是x的可导函数，那么y′=f′（x）的导数，就叫作原来的函数y=f（x）的二阶导数，记作
即
类似地，二阶导数的导数叫三阶导数，三阶导数的导数叫四阶导数，…，一般地，n-1阶导数的导数叫作n阶导数，分别记作y‴，y（4），…，
二阶以及二阶以上的导数统称为高阶导数.
由上述可知，求函数的高阶导数，只要逐阶求导，直到所要求的阶数即可，所以仍用前面的求导方法来计算高阶导数.下面介绍几个初等函数的n阶导数.
类似地，可以求得
二、隐函数的求导法则
前面所遇到的函数都是y=f（x）的形式，这样的函数叫作显函数，如y=sin 3x、y=ln xtan x等.有些函数的表达方式却不是这样，例如方程cos（xy）+ey=y2也表示一个函数，因为自变量x在某个定义域内取值时，变量y有唯一确定的值与之对应，这样由方程f（x，y）=0的形式所确定的函数叫作隐函数.下面说明隐函数的求导方法.
例19 求由方程x3+y3-3=0所确定的隐函数y=f（x）的导数.
解 方程两边同时对x求导，注意y是x的函数，得
从中解出隐函数的导数为
注：（1）方程两端同时对x求导，有时要把y当作x的复合函数的中间变量来看待，用复合函数的求导法则.（2）从求导后的方程中解出y′来.
例20 求函数y=xsinx（x＞0）的导数.
解 方程两端同时取对数，得
上式两边同时对x求导，得
于是，得
注：（1）形式为y=f（x）φ（x）（f（x）＞0）的函数，既不是幂函数也不是指数函数，底数与指数均含有自变量x，故称为幂指函数.(www.chuimin.cn)
（2）幂指函数尽管是显函数，但不易直接求导，本例的解法是，先在y=f（x）的两边取对数，然后用隐函数的求导法则求出y′.我们把这种方法称为对数求导法.
三、由参数方程所确定的函数的导数
设由参数方程
，确定y与x之间的函数关系，若函数x=φ（t），y=f（t）都可导，且φ′（t）≠0，x=φ（t）具有单调连续的反函数t=φ-1（x），则函数y=f（x）可看作y=f（t），t=φ-1（x）的复合函数.
由复合函数和反函数的求导法则得
这就是由参数方程所确定的函数的导数公式.
习题2-6-3
1.求下列函数的二阶导数：
（1）y=2x2+ln x；（2）y=e2x-1.
2.求下列函数的n阶导数：
（1）y=ln（x+1）；（2）y=x ex.
3.已知物体的运动方程为
其中，时间t的单位是s；路程s的单位是m.求物体在3 s时刻的速度和加速度.
4.求由下列方程所确定的隐函数y的导数：
（1）2xy+ex-ey=0；
（2）y sin x+cos（x-y）=0；
（3）y=3+x ey.
5.求下列参数方程所确定的函数y的导数：
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