数学与生活：乒乓球比赛中的概率

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：乒乓球起源于英国.19世纪末，欧洲盛行网球运动，但由于受到场地和天气的限制，英国有些大学生便把网球移到室内，以餐桌为球台，书作球网，用羊皮纸做球拍，在餐桌上打来打去.1890年，几位驻守印度的英国海军军官改用实心橡胶代替弹性不大的实心球，随后改为空心的塑料球，并用木板代替了网拍，这就是最早的乒乓球的由来.乒乓球出现不久，便成了一种风靡一时的热门运动.在名目繁多的乒乓球比赛中，最负盛名的是世界乒乓球

乒乓球起源于英国.19世纪末，欧洲盛行网球运动，但由于受到场地和天气的限制，英国有些大学生便把网球移到室内，以餐桌为球台，书作球网，用羊皮纸做球拍，在餐桌上打来打去.1890年，几位驻守印度的英国海军军官改用实心橡胶代替弹性不大的实心球，随后改为空心的塑料球，并用木板代替了网拍，这就是最早的乒乓球的由来.

乒乓球出现不久，便成了一种风靡一时的热门运动.在名目繁多的乒乓球比赛中，最负盛名的是世界乒乓球锦标赛，起初每年举行一次，1957年后改为两年举行一次.

乒乓球比赛是一项智能和技能含量很高的运动.而这项运动中时常出现的擦边球又是怎么一回事呢？擦边球（Edge Ball，Touch Ball）是乒乓球这项体育运动的专用术语，是指球打在球台的边缘.实际上，球台分上檐、侧边、下檐，只有球接触上檐才算擦边.而实际比赛中擦边球分两种：一种是球打在球台上檐，判得分；另一种是球打在球台下檐，不能判得分.

当然，在本章节我们不讨论擦边球的判定及是否得分，只考虑蕴含在其中的数学问题.根据概率论的知识可知，在理论上，擦边球出现的概率为零，但为什么在乒乓球比赛中，擦边球却时常出现呢？我们知道，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.难道说，概率为0的事件不一定是不可能事件？为了一探究竟，我们先来学习一下相关数学知识.

一、几何概型

1.几何概型的概念

定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（Geometric Models of Probability），简称为几何概型.

如果把事件A理解为区域Ω的某一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，那么满足以上条件的概率模型就为几何概型.

对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地取一点，则该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这里的几何区域可以是线段，也可以是平面图形、立体图形.这样，我们就把随机事件与几何区域联系在一起了.

2.几何概型的特点

（1）无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

几何概型与古典概型的主要区别在于：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是均等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.

随机事件A“从正整数中任取两个数，其和为偶数”是否为几何概型？尽管这里事件A满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件，且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的基本特征——能进行几何度量.所以，事件A不是几何概型.

几何概型的两个特点（无限性和等可能性）不是判定一个事件是否为几何概型的基本特征，要判定一个随机事件是否为几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征——能进行“几何度量”，不过掌握几何概型的两个特点有利于区分几何概型与古典概型.

二、几何概型的计算公式

几何概型中，事件A的概率计算公式如下：

我们把每个基本事件理解为某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型可以用几何概型来求解.

例如，（1）x的取值是区间［1，4］上的整数，任取一个x的值，求“取得的值大于等于2”的概率，这里所有基本事件的个数是有限的，事件A所包含的基本事件的个数为3，（古典概型）则

（2）x的取值是区间［1，4］上的实数，任取一个x的值，求“取得的值大于等于2”的概率，这里所有基本事件的个数是无限的，事件A所包含的基本事件的个数为2，（几何概型）则

例1 公共汽车在0～5 min内随机地到达车站，求汽车在1～3 min到达的概率.

思路分析本题考查几何概型的计算方法.时间是连续的、是无限的，在题设条件下这是几何概型，求出问题的Ω和A，则问题可以解决.

解将0～5 min这段时间看作一段长为5个单位长度的线段，则1～3 min是这一线段中的2个单位长度.设“汽车在1～3 min到达”为事件A，则

方法归纳求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.(www.chuimin.cn)

例2 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m的概率有多大？

解由题意可设“剪得两段绳长都不小于1 m”为事件A，则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生，故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为

例3 如图所示的单位圆，假设你在每一个图形上随机撒一粒黄豆，分别计算它落到阴影部分的概率.

解由题意可设“豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A，“豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B.则有基本事件的全部Ω对应的几何区域为面积为1的单位圆，事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面积，事件B对应的几何区域为第二个图形阴影部分面积.故由几何概型的知识可知，事件A、B发生的概率分别为

思考：在单位圆内有一点A，现在随机向圆内扔一颗小豆子（如图所示）

（1）求小豆子落点正好为点A的概率；

（2）求小豆子落点不为点A的概率.

读者可以自行思考一下这个问题.

由上面思考的问题，我们可以得出以下结论：

（1）若A是不可能事件，则P（A）=0；注意，此逆命题并不成立.即概率为0的事件不一定是不可能事件.

（2）若A是必然事件，则P（A）=1；注意，此逆命题也不成立.即概率为1的事件不一定是必然事件.

现在让我们回到开头的乒乓球擦边球的问题上来，设“乒乓球落在球台的上边檐”为事件A，则基本事件的全部Ω对应的几何区域的面积就是整个球台的面积，事件A对应的几何区域的面积为0，故事件A发生的概率为

所以，在几何概型中，理论上擦边球发生的概率等于0，但在乒乓球比赛中，擦边球却时有发生.

这也印证了前面的结论：概率为0的事件不一定是不可能性事件.

例4 有一杯1 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1 L水，求小杯水中含有这个细菌的概率.

解由题意可知，设“取出的0.1 L水中含有细菌”为事件A，则基本事件的全体Ω对应的几何区域是体积为1 L的水，事件A对应的几何区域是体积为0.1 L的水.故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为

课程思政：

从上面的学习我们知道，概率为0的事件不一定是不可能事件.当我们面对困难时，可能会因为觉得没有希望而轻易放弃，然而，生活中很多的奇迹，都是在不断坚持下创造的.所以，只要认定是对的事情，绝不要轻易放弃，时刻牢记不断的努力和坚持是我们走向成功的基础.

习题1-2

1.某人打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间小于10min的概率.（电台整点报时）

2.在边长为4的正方形中有一个半径为1的圆.设向这个正方形中随机投一点M，求点M落在圆内的概率.

3.500mL水样中有一只草履虫，从中随机取出2mL水样放在显微镜下观察，求发现草履虫的概率.

数学与生活：乒乓球比赛中的概率

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