高等数学基础：函数展开为幂级数

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：中国现代数学先驱——熊庆来

上节我们讨论了幂级数的收敛性，以及在其收敛区间内幂级数收敛于一个和函数.本节研究另一个问题即对于任意一个函数f（x）而言，能否将其展开成幂级数.

一、泰勒级数（Taylor）

这时，我们称函数f（x）可展开成麦克劳林（Maclaurin）级数.

将函数f（x）在x=x0处展开成泰勒级数，可通过变量替换t=x-x0，化归为函数f（x）=f（t+x0）在t=0处的麦克劳林展开.因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开.

定理　函数的麦克劳林展开式是唯一的.

证明：设f（x）在x=0的某邻域（-R，R）内可展开成x的幂级数

从而　a0=f（0）

这就是函数的麦克劳林展开式.

这表明，函数在x=0处的幂级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式.

二、函数展开成幂级数

1.直接展开法

将函数展开成麦克劳林级数可按下述几步进行.

（1）求出函数的各阶导数及函数值

若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开.

（2）写出麦克劳林级数

并求其收敛半径R.

（3）考察当x∈（-R，R）时，拉格朗日余项

在n➝∞时，是否趋向于零.

对于任意x∈（-∞，+∞），有(www.chuimin.cn)

2.间接展开法

由于直接应用麦克劳林公式展开幂级数的方法，虽然程序明确，但运算过于烦琐.因此，利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质（如加减、逐项求导、逐项求积）将所给函数展开不失为一种较好的办法.

再将此展开式中的x换成x2则有

【例题4】　将函数f（x）=cosx展开成x的幂级数.

解：由于（sinx）′=cosx

对展开式

两边关于x逐项求导，得

【例题5】　将函数f（x）=ln（1+x）展开成x的幂级数.

【例题6】　试求f（x）=arctanx的幂级数展开式.

于是

习题10.5

1.将下列函数展开成x的幂级数，并求其收敛区间.

复习题十

一、填空题

二、选择题

三、判定下列正项级数的敛散性.

四、判定下列级数的敛散性，如收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？

中国现代数学先驱——熊庆来