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2025-09-30
高等数学基础：幂级数展开式讲解
【摘要】：在本章开始时，我们曾考查过一种较简单的级数——等比级数.其每一项都是x的函数，由此，我们给出函数项级数的概念.一、函数项级数的一般概念设有定义在区间I上的函数列由此函数列构成的表达式称作函数项级数.函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域（收敛区间）；函数项级数的所有发散点的全体称为它的发散域（或发散区间）.在函数项级数中，函数项级数中最常见的一类级数是幂级数.二、幂级数及其收敛性下面我们讨论幂
在本章开始时，我们曾考查过一种较简单的级数——等比级数.
其每一项都是x的函数，由此，我们给出函数项级数的概念.
一、函数项级数的一般概念
设有定义在区间I上的函数列
由此函数列构成的表达式
称作函数项级数.
函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域（收敛区间）；函数项级数的所有发散点的全体称为它的发散域（或发散区间）.
在函数项级数中，函数项级数中最常见的一类级数是幂级数.
二、幂级数及其收敛性
下面我们讨论幂级数的收敛域、发散域的构造.
例如等比级数（显然也是幂级数）
当|x|＜1时，该级数收敛.
当|x|≥1时，该级数发散.
因此，该幂级数的收敛域是开区间（-1，1），发散域是（-∞，-1）∪（1，+∞），如果在开区间（-1，1）内取值，则
由此例我们观察到，这个幂级数的收敛域是一个区间.事实上，这一结论对一般的幂级数也是成立的.
解：(https://www.chuimin.cn)
解：因为
三、幂级数的运算性质
下面我们不加证明地给出下述性质.
1.幂级数的加、减及乘法运算
即两个幂级数的和或差的收敛区间是两个幂级数收敛区间的交集.
2.幂级数和函数的性质
性质1（幂级数的连续性）
且逐项求导后所得的新级数其收敛半径不变，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变.
且逐项积分后所得的新级数其收敛半径不变，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变.
是一收敛的交错级数.
当x=1时，幂级数成为
是发散的调和级数.
习题10.4
1.求下列幂级数的收敛半径.
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