正项级数及其敛散性-高等数学基础

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：研究级数问题，首先是级数的敛散性问题.级数的敛散性取决于级数的部分和数列是否有极限.但实际上，多数级数的部分和表达式不太容易求得.因此，我们先考虑较简单的级数——正项级数.下面给出几种正项级数的敛散性判别方法.简单一点说，即两个级数相比较，若大的收敛，则小的必收敛；若小的发散，则大的必发散.因此，利用比较审敛法判断级数的敛散性时，需要找一个参照级数.判别已给级数收敛时，需要找一个收敛的且通项不小于

研究级数问题，首先是级数的敛散性问题.级数的敛散性取决于级数的部分和数列是否有极限.但实际上，多数级数的部分和表达式不太容易求得.因此，我们先考虑较简单的级数——正项级数.

下面给出几种正项级数的敛散性判别方法.

简单一点说，即两个级数相比较，若大的收敛，则小的必收敛；若小的发散，则大的必发散.因此，利用比较审敛法判断级数的敛散性时，需要找一个参照级数.判别已给级数收敛时，需要找一个收敛的且通项不小于已给级数通项的参照级数；判别已给级数发散时，需要找一个发散的且通项不大于已给级数通项的参照级数.一般的参照级数为等比级数和p-级数.

【例题1】　判定下列级数的敛散性.

比较审敛法还可用其极限形式给出，而极限形式在运用中更显得方便.

【知识点回顾】

常用的等价代换有：

当x➝0时，sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，

则（1）当ρ＜1时，级数收敛；

（2）当ρ＞1（也包括ρ=+∞）时，级数发散；(www.chuimin.cn)

（3）当ρ=1时，级数可能收敛，也可能发散，级数的敛散性不定.

【例题3】　用比值审敛法判定下列正向级数的敛散性.

由比值审敛法可知，级数收敛.

于是，由比值审敛法可知，级数收敛.

这表明，用比值法无法确定该级数的敛散性.注意到