数项级数的敛散性及应用

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：一、常数项级数的概念数列的定义：按照自然数顺序变化的一列数称为数列.等比数列的通项公式：an=a1qn-1（q≠0）等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d定义1若给定一个数列u1，u2，…

一、常数项级数的概念

【知识点回顾】

（1）数列的定义：按照自然数顺序变化的一列数称为数列.

（2）等比数列的通项公式：an=a1qn-1（q≠0）

（3）等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d

定义1　若给定一个数列u1，u2，…，un，…，则由它构成的表达式

称此数列为级数（1）的部分和数列{sn}.

根据部分和数列（2）是否有极限，来判定级数（1）收敛与发散.定义2　当n无限增大时，如果级数（1）的部分和数列（2）有极限s，即

如果部分和数列（2）无极限，则称级数（1）发散.

当级数（1）收敛时，其部分和sn是级数和s的近似值，它们之间的差值　

称为级数的余项.

因此，我们判断一个级数的敛散性问题就转化为求这个级数部分和数列的前n项部分和的极限问题.

【例题1】　判断下列级数的敛散性.

二、两个特殊的级数

下面讨论两个特殊的级数等比级数和p-级数的收敛性.

1.等比级数（或称几何级数）

【例题2】　讨论下列等比级数（或称几何级数）的收敛性.解：（1）由于q=2＞1，所以级数发散.(https://www.chuimin.cn)

2.p-级数

下面不加证明地给出p-级数的收敛性结果：

此级数在p≤1时发散，在p＞1时收敛.

【例题3】　讨论下列p-级数的收敛性.

三、级数的基本性质

根据级数的概念和极限的定义，可以得到级数的几个基本性质.

性质3　在级数的前面去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性，不过在收敛时，一般来说级数的和是要改变.

性质4　将收敛级数的某些项加括号之后所成的新级数仍收敛于原来的和.

习题10.1

1.写出下列级数的前五项.

2.写出下列级数的通项.

3.讨论下列无穷等比级数的收敛性.

4.讨论下列p-级数的收敛性.

5.根据级数的敛散性定义，判别下列级数的敛散性.

6.根据级数收敛的必要条件，判别下列级数的敛散性.