定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.定义 设f是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n个小区域Δv1，Δv2，…，Δvn，其中Δvi表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个Δvi上任取一点，作乘积fΔvi（i=1，2，…......
2023-10-19
高等数学基础：三重积分计算法
【摘要】：二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是一平面区域.如果考虑三元函数f在一空间区域上的积分，就可得到三重积分的概念.一、三重积分概念设函数u=f在空间有界闭区域任意划分成n个子域ΔV1，ΔV2，ΔV3，…，ΔVn，它们的体积分别记作ΔVk（k=1，2，…
二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是一平面区域.如果考虑三元函数f（x，y，z）在一空间区域（V）上的积分，就可得到三重积分的概念.
一、三重积分概念
设函数u=f（x，y，z）在空间有界闭区域（V）任意划分成n个子域ΔV1，ΔV2，ΔV3，…，ΔVn，它们的体积分别记作ΔVk（k=1，2，…，n）.在每一个子域上任取一点（ξk，ηk，ζk），并作和数
如果不论ΔVk怎样划分，点（ξk，ηk，ζk）怎样选取，当n→+∞而且最大的子域直径δ→0时，这个和数的极限都存在，那么此极限就称为函数f（x，y，z）在域V上的三重积分，记作：
即
如果f（x，y，z）在域V上连续，那么此三重积分一定存在.
对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义.
二、直角坐标系中三重积分的计算方法
这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参考相关书籍.
直角坐标系中三重积分的计算公式为：
此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出.
解：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那么应把V投影到xOy平面上，求出投影域σ，它就是平面x+y+z=1与xOy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域.
我们为了确定出对z积分限，在（σ）固定点（x，y），通过此点作一条平行于z的直线，它与V上下边界的交点的竖坐标：z=0与z=1-x-y，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：
其中σ为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如图9.12中阴影部分所示.
再将σ域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：
图9.11
三、柱面坐标系中三重积分的计算法
我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法.(www.chuimin.cn)
平面上点P可以用极坐标（ρ，θ）来确定，因此空间中的点P可用数组（ρ，θ，z）来表示.显然，空间的点P与数组（ρ，θ，z）之间的对应关系是一一对应关系，数组（ρ，θ，z）称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为：
构成柱面坐标系的3族坐标面分别为：
ρ=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族；
θ=常数：通过z轴的半平面族；
z=常数：与z轴垂直的平面族.
因此，每3个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标.
柱面坐标系下三重积分的计算公式为：
习题9.4
1.计算.
复习题九
一、填空题
1.设曲顶柱体z=x2y2，区域D：x2+y2≤4，则曲顶柱体的体积用二重积分表示为：____________________.
2.设曲顶柱体z=x+y，D：由y=2x，x轴，y轴所围成的区域，则曲顶柱体的体积用二重积分表示为：____________________.
二、选择题
三、计算下列二重积分
中国现代数学先驱——陈省身
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