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2023-11-20
直角坐标系下二重积分的计算-高等数学基础
【摘要】：二重积分直接不容易积分，须化为二次定积分来计算，设被积函数z=f（x，y）在D上连续，它是一个连续曲面，因此可将其都看作以D为底，曲面z=f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积.在直角坐标系下，区域D可以看成由一系列小矩形区域构成，任取一小矩形区域Δσ，则它的边长为Δx，Δy，面积为Δσ=ΔxΔy，即dσ=dxdy，为求二重积分，必须对区域D进行划分，如图9.4所示，区域D加在x=a，x=b，y=y1（
二重积分直接不容易积分，须化为二次定积分来计算，设被积函数z=f（x，y）在D上连续，它是一个连续曲面，因此可将其都看作以D为底，曲面z=f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积.
在直角坐标系下，区域D可以看成由一系列小矩形区域构成，任取一小矩形区域Δσ，则它的边长为Δx，Δy，面积为Δσ=ΔxΔy，即dσ=dxdy，
为求二重积分，必须对区域D进行划分，如图9.4所示，区域D加在x=a，x=b，y=y1（x），y=y2（x）4条曲线之间；如图9.5所示区域D加在y=c，y=d，x=φ1（x），x=φ2（x）4条曲线之间.
图9.4
图9.5
对区域D进行划分后，要求二重积分，这里我们采取的方法是累次积分法.即将二重积分化为两个定积分.也就是先将x看成常量，对y进行积分，然后再对x进行积分，或者是先将y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分.为此我们有积分公式，如下：
上下限都是常数的称为内积分，上下限不全都是常数的称为外积分，求二重积分是先求外积分，再求内积分.
注意：对含有x的变量进行积分时，将y看成常量，对含有y的变量进行积分时，将x看成常量.
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图9.6
图9.7
【知识点回顾】
习题9.2
1.计算下列二重积分.
2.计算下列二重积分.
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