表示常量，用字母x，y，z，t，…......
2023-11-19
高数：二重积分的概念及性质
【摘要】：，Δσn，并以Δσi（i=1，2，…
前面我们已经知道，定积分与曲边梯形的面积有关.下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念.
一、二重积分的概念
【知识点回顾】
其中f（x）称为被积函数，f（x）称为被积函数，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积
曲顶柱体体积
【引例1】设有一个曲顶柱体，底是xOy平面上的有界闭区域D，侧面是以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面，用二元函数z=f（x，y）表示它的曲顶，求当f（x，y）≥0时该曲顶柱体的体积（图9.1）.
对于平顶柱体的体积可以简单地用底面积×柱体高度来计算，在求曲顶柱体体积时，类似于求曲边梯形的面积一样，可以通过局部线性化将求曲顶柱体体积转化为求平顶柱体体积的和，据此，有以下步骤，如下所述.
（1）分割：将区域D细分成n个区域：Δσ1，Δσ2，…，Δσi，…，Δσn.
（2）近似替代：在微小区域Δσi上取一点（xi，yi），以f（xi，yi）为高，Δσi为底的平顶柱体体积近似代替Δσi上小曲顶柱体的体积：
（3）取极限：将ΔVi在区域D上累加，得到曲顶柱体的近似体积
（4）取极限：当n个区域面积的最大值λ➝0时，上述和式的极限就是所求曲顶柱体的体积，即
图9.1
平面薄片的质量
【引例2】设有一个平面薄片占有xOy平面上的区域D（图9.2），其面密度（单位面积的质量）为D上的连续函数μ（x，y），求该平面薄片的质量M.
解：对于质量分布均匀的薄片，即当
该薄片的质量 M=面密度×薄片面积≡μ0σ
现在薄片的面密度μ（x，y）在D上是变化的，因而其质量就不能使用上面的公式计算，但是它仍可仿照求曲顶柱体体积的思想方法求得，简单说，非均匀分布的平面薄片的质量，可以通过“分割、近似、求和、限极限”这4个步骤求得，具体做法如下所述.
（一）分割
将薄片（即区域D）任意分成n个子域：Δσ1，Δσ2，…，Δσn，并以Δσi（i=1，2，…，n）表示第i个子域的面积.
图9.2
（二）近似替代
由于μ（x，y）在D上连续，因此当Δσi很小时，这个子域上的密度的变化也很小，即其质量可近似看成均匀分布的，于是在Δσi上任意取一点（ξi，ηi），第i块薄片的质量近似值为
（三）求和
将这n个看成质量均匀分布的小块的质量相加得到整个平面薄片的近似值，即
（四）取极限
当n个子域的最大直径λ➝0时，上述和式的极限就是所求薄片的质量，即
上述两个例子意义不同，但解决问题的方法都可归纳为求二元函数在平面区域上和式极限，在几何、物理、力学、工程实践中许多问题均可归纳为这种方式的极限，抽去其实际意义，我们给出二重积分的概念.
二、二重积分的定义
设二元函数z=f（x，y）为有界闭区域D上的有界函数：(www.chuimin.cn)
其中x与y称为积分变量，函数f（x，y）称为被积函数，D称为积分区域.
于是由二重积分的定义：
三、二重积分的几何意义
四、二重积分的性质
可积函数的二重积分具有下述性质.
1.被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.
2.有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.
3.（区域可加性）如果把积分区域D分成两个子域σ1与σ2，即D=σ1+σ2，那么：
5.如果在D上有f（x，y）≤g（x，y），那么：
6.（二重积分中值定理）设f（x，y）在闭域D上连续，则在D上至少存在一点（ξ，η），使
其中σ是区域D的面积.
解：如图9.3所示，在D上，1≤x+y≤2，则
由性质5：
图9.3
解：因为在D上，1≤x+y+1≤4，而D的面积为2，由性质7
习题9.1
1.填空题.
（1）设曲顶柱体z=x2+y2，区域D：x2+y2≤1，则曲顶柱体的体积用二重积分表示为：_____________________.
（2）设曲顶柱体z=x2y2，D：由x+y=1，x轴，y轴所围成的区域，则曲顶柱体的体积用二重积分表示为：____________________.
2.估计下列积分值的大小.
有关高等数学基础的文章
- 详细阅读
- 详细阅读
-
n阶行列式的概念及性质初步解析详细阅读
，n）排成n行n列且其值为这里，j1j2…，n的所有不同排列j1j2…jn求和的记号称为n阶行列式，记为Dn或D.2.n阶行列式的性质设D是n阶行列式，则D与它的转置行列式DT（即将D的第i列作为第i行（i=1，2，…......
2023-10-27
-
高数基础：多元复合函数求导法详细阅读
在一元函数中，我们已经知道复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此.下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式.我们先以二元函数为例，如下所述.一、全导数【知识点回顾】复合函数的求导规则：对于复合函数y=f[φ（x）]，设y=f（u），u=φ（x），其中u叫作中间变量.则复合函数求导用公式表示为：即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量......
2023-11-20
-
多边形边角及对角线的基本概念及性质详细阅读
1796年,年仅19岁的高斯给出了正十七边形可以用尺规作图的证明．这一问题的证明不仅震撼了数学界,也震撼了高斯自己的心灵．高斯逝世后,人们按照他的遗嘱,在他的雕像下面建立了一座正十七边棱柱的底座．1989年,第三十届国际数学奥林匹克在高斯曾执教的哥廷根大学举行,也是用正十七边形作为会徽,以示纪念．知能概述边、角、对角线是多边形中最基本的概念．多边形的性质常转化成三角形来说明,连对角线或向外补形,是......
2023-08-13
-
高数二第二版：曲面积分计算法详细阅读
考查积分的计算，其他情形以此类推.设光滑曲面Σ：z=z（x，y）与平行于z轴的直线至多交于一点，在x Oy面上的投影区域为Dxy.由对坐标的曲面积分的定义若曲面Σ取上侧，则cosγ＞0，所以（ΔSi）xy=（Δσi）xy，否则（ΔSi）xy=-（Δσi）xy.又因为（ξi，ηi，ζi）是Σ上的一点，故ζi=z（ξi，ηi），从而有令λ→0取上式两端的极限，就得到式中右端符号的确定：若积分取曲面Σ上......
2023-10-19
-
高数二第2版：可分离变量微分方程详细阅读
一般地，形如的一阶微分方程称为可分离变量的一阶微分方程.当g（y）≠0时，方程（7.2.1）可写为这样一来，变量y与x便被分离在等号的两端了.设f（x）与g（x）都连续，求解方程（7.2.1），就是要寻找函数y=y（x），将它代入方程（7.2.1）后，能使此方程成为恒等式.从而，当g（y）≠0时，就有在解微分方程时，为了突出任意常数C，常把中所含的任意常数C明确写出来.根据不定积分的第一换元法，得......
2023-10-19
-
跨境电商的概念及差异详细阅读
跨境电子商务是分属不同关境的交易主体，通过电子商务平台达成交易，进行支付结算，并通过跨境物流送达商品、完成交易的一种国际性的商务活动。跨境电子商务概念可以分为广义和狭义两种说法。国际贸易进出口环节中一般要涉及国际货款结算、进出口通关、国际运输、保险等，同时还有安全性及风险控制等方面的考虑，这使得跨境电子商务和境内电子商务有所不同。......
2023-08-19
相关推荐