在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题.多元函数也有类似的问题，这里只学习二元函数的极值问题.
一、二元函数极值的定义
【知识点回顾】
设y=f（x）在x0的一个邻域内有定义，且除x0外，
（1）恒有f（x）＜f（x0），则称f（x0）为f（x）的极大值，点x0称为f（x）的一个极大值点；
（2）恒有f（x）＞f（x0），则称f（x0）为f（x）的极小值，点x0称为f（x）的一个极小值点.
函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.
（极值存在的必要条件）：若点x0是函数f（x）的极值点，且x0处函数可微，则f′（x0）=0.
设二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的一个邻域内有定义，如果在（x0，y0）的某一去心邻域内的一切点（x，y）恒有等式：
成立，那么就称函数f（x，y）在点（x0，y0）处取得极大值f（x0，y0）；如果恒有等式：
成立，那么就称函数f（x，y）在点（x0，y0）处取得极小值f（x0，y0）.
极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点（x0，y0）称为极值点.
定理1（极值点的必要条件） 二元可导函数在（x0，y0）取得极值的条件是：
注意：此条件只是取得极值的必要条件.
凡是使f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0的点（x，y）称为函数f（x，y）的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点.例如，点（0，0）是函数z=xy的驻点，但是函数在该点并无极值.
二、二元函数极值判定的方法
仿照一元函数，凡是能使f′x（x，y）=0，f′y（x，y）=0同时成立的点（x0，y0）称为函数z=f（x，y）的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但是函数的驻点不一定是极值点，怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题.
定理2（充分条件） 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0，令
则f（x，y）在（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：
①AC-B2＞0时具有极值，且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值；
②AC-B2＜0时没有极值；
③AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z=f（x，y）的极值的求法叙述如下：
第一步 解方程组
求得一切实数解，即可以得到一切驻点.
第二步 对于每一个驻点（x0，y0），求出二阶偏导数的值A，B和 C.
第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f（x0，y0）是否是极值、是极大值还是极小值.
【例题1】 求z=x2-2x+y2-2y的极值.
解：设z=x2-2x+y2-2y则
对于驻点（1，1）有f″xx（1，1）=2，f″xy（1，1）=0，f″yy（1，1）=2，故
因此，z=x2-2x+y2-2y在点（1，1）取得极小值f（1，1）=-2.
【例题2】 求z=x3+y3-3xy的极值.
解：设z=x3+y3-3xy则
因此，f（x，y）=x3+y3-3xy在点（0，0）不取得极值.
三、二元函数的最大、最小值问题
在实际问题中，若知道函数的最大值、最小值一定在区域D的内部取得，而函数在D内如果只有一个驻点，则这个驻点就是所求函数的最大值、最小值.下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值，求解步骤如下：
①根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；
②求出驻点；
③结合实际意义判定最大值、最小值.
【例题3】 某厂要用铁板制作一个体积为2m3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.
可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点（x，y）.
令解这方程组，得：
从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小.
【例题4】 在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短.
解：（1）先建立函数关系，确定定义域
求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方
最小的问题.但是P点位于所给的平面上，故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系：(www.chuimin.cn)
（2）求驻点
（3）结合实际意义判定最大值、最小值，由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P（3，4，-1）.
四、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数z=f（x，y）在附加条件φ（x，y）=0下的可能极值点，可以先构成辅助函数
分别对x，y，λ求其一阶偏导数，并使之为零，得出方程组
由这方程组解出x，y及λ，则其中x，y就是函数f（x，y）在附加条件下φ（x，y）=0的可能极值点的坐标.
至于如何确定所求得的点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.
【例题5】 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.
解：设长方体的3条棱长为x，y，z，则问题就是在条件下，求函数
的最大值.构成辅助函数
求其对x、y、z的偏导数，并使之为零，得到
再与（1）联立求解.
因x、y、z都不等于零，所以由（2）可得
由以上两式解得
将此代入式（1），便得
习题8.6
1.求下列函数的极值.
(1)f(x,y)=x2+y2
(2)f(x,y)=4x-4y-x2-y2
(3)z=x2-2x+1+y2-2y+2
(4)z=x3+y3-3x-3y
(5)z=x3+y3-3x2-3y2
(6)f(x,y)=e2x(x+y2+2y)
2.计算一个长方体容器，其长、宽、高之和为定值，问怎样下料才能使所做容器最大？
3.求函数z=xy在适合附加条件x+y=1下的极大值.
4.设直角三角形斜边长为5，问直角边取何值时，直角三角形周长最大？
5.曲线L：xy=1（x＞0）上求一点，使函数f（x，y）=x2+2y2达到最小值.
复习题八
一、填空题
二、选择题
4.设z=xy，则dz=（ ）.
A.dx+dy B.-dx-dy C.xdx+ydy D.ydx+xdy
5.函数z=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值点有（ ）.
A.（1，0）和（1，2） B.（1，0）和（1，4）
C.（1，0）和（-3，2） D.（-3，0）和（-3，2）
三、计算题
1.求下列函数的极限.
2.求下列函数的一阶偏导数.
(1)z=2x2-3xy+2y2(2)z=sin(xy)
(3)z=ex2y2(4)z=ln(x+y)
四、应用题
1.求二元函数z=x2-2x+y2-4y+1的极值.
2.求二元函数z=x3+y3-3x-3y2的极值.
3.求z=xy在约束条件x+y=1下的极值.
4.在抛物线L：y=x2上求一点，使其与直线x+y+2=0的距离最短.
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