高等数学基础：隐函数求导公式

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：【知识点回顾】一般而言，如果x与y的函数关系隐含在方程F（x，y）=0中，即x在某一区间取值时，相应地有确定的y值和其唯一对应，则称方程F（x，y）=0所确定的函数为隐函数.隐函数求导步骤：（1）方程两边对x进行求导；（2）在求导过程中把y看成x的函数y=f（x），用复合函数求导法则进行.一、二元函数的情形在第二章第六节中已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程求它所确定的隐函数的方

【知识点回顾】

一般而言，如果x与y的函数关系隐含在方程F（x，y）=0中，即x在某一区间取值时，相应地有确定的y值和其唯一对应，则称方程F（x，y）=0所确定的函数为隐函数.

隐函数求导步骤：

（1）方程两边对x进行求导；

（2）在求导过程中把y看成x的函数y=f（x），用复合函数求导法则进行.

一、二元函数的情形

在第二章第六节中已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程

求它所确定的隐函数的方法.现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.

【隐函数存在定理1】　设函数F（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内具有连续的偏导数，且F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则方程F（x，y）=0在点（x0，y0）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x），它满足条件y0=f（x0），并有

公式（2）就是隐函数的求导公式.

这个定理我们不证.现仅就公式（2）作如下推导.

将方程（1）所确定的函数y=f（x）代入，得恒等式

其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

由于Fy连续，且Fy（x0，y0）≠0，所以存在（x0，y0）的一个邻域，在这个邻域内Fy≠0，于是得

如果F（x，y）的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式（2）的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得

【例题1】　验证方程x2+y2-1=0在点（0，1）的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数，当x=0时，y=1的隐函数y=f（x），并求该函数的一阶和二阶导数在x=0的值.

解：设F（x，y）=x2+y2-1，则Fx=2x，Fy=2y，F（0，1）=0，Fy（0，1）=2≠0.因此由定理

1可知，方程x2+y2-1=0在点（0，1）的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数，当x=0时，y=1的隐函数y=f（x）.(www.chuimin.cn)

下面求该函数的一阶和二阶导数：

【例题2】　求隐函数x2+2x2y2-y2=4的导数.

解：设F（x，y）=x2+2x2y2-y2-4，

则Fx=2x+4xy2，Fy=4x2y-2y

二、三元函数的情形

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程

就有可能确定一个二元隐函数.

与定理1一样，我们同样可以由三元函数F（x，y，z）的性质来断定由方程F（x，y，z）=0所确定的二元函数z=（x，y）的存在，以及这个函数的性质，这就是下面的定理.

【隐函数存在定理2】　设函数F（x，y，z）在点P（x0，y0，z0）的某一邻域内具有连续的偏导数，且F（x0，y0，z0）=0，Fz（x0，y0，z0）≠0，则方程F（x，y，z）=0在点（x0，y0，z0）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f（x，y），它满足条件z0=f（x0，y0），并有

这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导.

由于F（x，y，f（x，y））≡0，

将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得

因为Fz连续，且Fz（x0，y0，z0）≠0，所以存在点（x0，y0，z0）的一个邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得

解：设F（x，y，z）=x2+y2+z2-4z，则Fx=2x，Fy=2y，Fz=2z-4.

应用公式（4），得

习题8.5

高等数学基础：隐函数求导公式

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