高数基础：多元复合函数求导法

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：在一元函数中，我们已经知道复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此.下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式.我们先以二元函数为例，如下所述.一、全导数【知识点回顾】复合函数的求导规则：对于复合函数y=f[φ（x）]，设y=f（u），u=φ（x），其中u叫作中间变量.则复合函数求导用公式表示为：即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量

在一元函数中，我们已经知道复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此.下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式.我们先以二元函数为例，如下所述.

一、全导数

【知识点回顾】

复合函数的求导规则：对于复合函数y=f[φ（x）]，设y=f（u），u=φ（x），其中u叫作中间变量.则复合函数求导用公式表示为：

即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.

由二元函数z=f[φ（x），φ（x）]，设u=φ（x），v=φ（x），其中u，v为中间变量，则z=f（u，v）是x的一元函数.

二、多元复合函数的求导公式(www.chuimin.cn)

链导公式：

对二元复合函数z=F[φ（x，y），φ（x，y）]，设u=φ（x，y），v=φ（x，y）均在（x，y）处可导，

则函数z=F（u，v）在对应的（u，v）处有连续的一阶偏导数，那么，复合函数z=F[φ（x，y），φ（x，y）]在（x，y）处可导，且有链导公式：

解：设u=x+y，v=xy，则z=f（x+y，xy）求导变为z=f（u，v），u=x+y，v=xy二元复合函数求导，由二元函数的链导公式得：

一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数.在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数.