高等数学基础：多元函数的全微分

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：【知识点回顾】y=f（x）的微分定义：由函数的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f′（x0）Δx+o（Δx）我们把增量的近似值称为函数f（x）在点x0处的微分，即我们已经学习了一元函数的微分的概念，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数.这里以二元函数为例.全微分的定义：设二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的一个邻域内有定义，则在点（x0，y0

【知识点回顾】

y=f（x）的微分定义：由函数的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f′（x0）Δx+o（Δx）我们把增量的近似值称为函数f（x）在点x0处的微分，即

我们已经学习了一元函数的微分的概念，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数.

这里以二元函数为例.

全微分的定义：设二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的一个邻域内有定义，则在点（x0，y0）的增量

我们把全增量Δz的近似值称为z=f（x，y）在点（x0，y0）全微分，即

像一元函数一样，规定Δx=dx，Δy=dy，则

若z=f（x，y）在区域D内每一点处都可微分，则称该函数在区域D内可微分.记(www.chuimin.cn)

全微分的概念也可推广到三元或更多元的函数.如三元函数u=f（x，y，z），在点（x，y，z）的全微分的表达式为

【例题3】　计算函数z=x2y2在点（2，-1）处，当Δx=0.02，Δy=-0.01时的全微分和全增量.

解：由定义知，全增量Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）

习题8.3