高等数学基础：偏导数的概念

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：一、偏导数的概念【知识点回顾】y=f（x）在x=x0处导数的定义：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx（x+Δx也在该邻域内）时，相应地，函数有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），若Δy与Δx之比有当Δx→0时极限存在，则称这个极限值为y=f（x）在x0处的导数.记为基本初等函数的导数公式如下：（1）（c）′=0（c为常数）（2）（xμ）′=μxμ-1(

一、偏导数的概念

【知识点回顾】

y=f（x）在x=x0处导数的定义：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx（x+Δx也在该邻域内）时，相应地，函数有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），若Δy与Δx之比有当Δx→0时极限存在，则称这个极限值为y=f（x）在x0处的导数.记为

基本初等函数的导数公式如下：

（1）（c）′=0（c为常数）　（2）（xμ）′=μxμ-1

(5)(ax)′=ax·lna(6)(ex)′=ex

(7)(sinx)′=cosx(8)(cosx)′=-sinx

(9)(tanx)′=sec2x(10)(cotx)′=-csc2x

(11)(secx)′=tanxsecx(12)(cscx)′=-cotxcscx

在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率.对于二元函数，我们同样要研究其“变化率”.然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂得多.在xOy平面内，当变点由（x0，y0）沿不同方向变化时，函数f（x，y）的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究f（x，y）在（x0，y0）点处沿不同方向的变化率.

在这里我们只学习（x，y）沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f（x，y）的变化率.

1.偏导数的定义

设有二元函数z=f（x，y），点（x0，y0）是其区域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量Δx，相应地函数

z=f（x，y）有增量（称为对x的偏增量）

如果Δxz与Δx之比当Δx→0时的极限

那么此极限值称为函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数.

如果二元函数z=f（x，y）在域D内任意一点（x，y）都存在对x的偏导数，则称此偏导数为z=f（x，y）对x的偏导函数，记作

如果二元函数z=f（x，y）在域D内任意一点（x，y）都存在对y的偏导数，则称此偏导数为z=f（x，y）对y的偏导函数，记作

常把偏导函数称为偏导数.(www.chuimin.cn)

2.偏导数的求法

二、高阶偏导数

如果二元函数z=f（x，y）的偏导数f′x（x，y）与f′y（x，y）仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f（x，y）的二阶偏导数.