一、点的轨迹方程的概念在平面解析几何中，把平面曲线看作一个动点运动的轨迹，从而得到轨迹方程——曲线方程的概念.则在空间解析几何中，也可以将曲面或曲线看作是满足一定条件的动点的轨迹，动点的轨迹也用方程或方程组来表示，从而得到曲面方程或曲线方程的概念.如果曲面Σ与三元方程f（x，y，z）=0有如下关系：曲面Σ任意一点的坐标都满足方程f（x，y，z）=0；不在曲面Σ上的点的坐标都不满足方程f（x，y，z......
2023-11-20
高等数学基础-直线方程及其应用
【摘要】：一、直线的一般式方程空间中任何一条直线都可以看作两个相交平面的交线.如果直线L作为平面A1x+B1y+C1z+D1=0和平面A2x+B2y+C2z+D2=0的交线，则该直线L的一般式方程为其中{A1，B1，C1}与{A2，B2，C2}不成比例.二、直线的标准式方程由立体几何可知，过空间一点作平行于已知直线的直线是唯一的.因此，如果知道直线上一点及直线平行与某一向量，那么，该直线的位置就唯一确定.下
一、直线的一般式方程
空间中任何一条直线都可以看作两个相交平面的交线.如果直线L作为平面A1x+B1y+C1z+D1=0和平面A2x+B2y+C2z+D2=0的交线，则该直线L的一般式方程为
其中{A1，B1，C1}与{A2，B2，C2}不成比例.
二、直线的标准式方程
由立体几何可知，过空间一点作平行于已知直线的直线是唯一的.因此，如果知道直线上一点及直线平行与某一向量，那么，该直线的位置就唯一确定.下面，我们利用此结论推导直线的方程.
方向向量的定义：如果一个非零向量s平行于直线L，则称s为直线L的方向向量.任意方向向量的坐标称为直线的一组方向数.显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.
图7.18
此即直线L的标准式方程（也称为点向式方程或对称式方程）.
注：在（2）式中，若有个别分母为零，应相应地理解为其所对应的分子也为零.
【例题1】 求过点P（1，2，3）且方向向量s={1，2，2}的直线方程.
解：由直线的点向式方程可得
【例题2】 求过点M1（1，2，2）、M2（0，1，-1）的直线方程.
即
【例题3】 求过点P（1，2，3）且与平面L：2x+3y-z+1=0垂直的直线方程.
解：由s=nL={2，3，-1}，由直线的点向式方程可得
三、直线的参数方程
由直线的标准方程引入变量t，令
则有
此即过点M0（x0，y0，z0）且以s={m，n，p}为方向向量的直线L的参数方程，其中t为参数.
其中t为参数.
(www.chuimin.cn)
其中t为参数.
将此参数方程代入平面方程x+y+2z-4=0得：
即t=-1，即x=-1，y=1，z=2，所以交点为（-1，1，2）.
四、两条直线的位置关系
由立体几何知识可知，空间中直线的位置关系有相交、平行、异面3种情况，下面我们分别考虑空间中两条直线的位置关系.
【例题6】 已知直线L1、L2，判断它们之间的位置关系：
解：（1）因为直线L1和L2的方向向量分别为s1=（3，-2，1）、
s2=（6，-4，2），s1∥s2，所以，L1∥L2；
（2）因为直线L1和L2的方向向量分别为s1=（2，-1，-4）、s2=（3，2，1），s1⊥s2，所以L1⊥L2.
图7.19
设直线L和平面π的方程分别为
由直线与平面的位置关系：
（1）平行：L∥π⇔s⊥n（或mA+nB+pC=0）且M0（x0，y0，z0）在L上，而不在π内；
（2）重合：L在π内⇔s⊥n（或mA+nB+pC=0）且M0（x0，y0，z0）既在L上，又在π内；
习题7.5
1.求过点P（1，2，3）且方向向量s={3，2，1}的直线方程.
2.求经过两点M1（1，0，-1），M2（2，1，-2）的直线方程.
4.求过点（3，4，-4）且与平面9x-4y+2z-1=0垂直的直线方程.
7.已知直线L1、L2，判断它们之间的位置关系：
8.已知直线L和平面π，判断它们之间的关系.
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