高等数学基础：数量积与向量积

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：一、向量的数量积（点积）引例1在物理学中，物体在常力作用下，移动了S，则力F所做的功为W=|F|·|S|cos（F，S），其中，（F，S）表示F与S之间的夹角.向量间的这种运算关系在其他实际问题中也会遇到.在数学上，抛开它的实际意义，将其抽象为向量间的数量积，我们给出以下具体定义：（一）数量积的定义设向量a，b之间的夹角为θ（0≤θ≤π），则称|a||b|cosθ为向量a与b的数量积，记作a·b

一、向量的数量积（点积）

引例1　在物理学中，物体在常力作用下，移动了S，则力F所做的功为W=|F|·|S|cos（F，S），其中，（F，S）表示F与S之间的夹角.向量间的这种运算关系在其他实际问题中也会遇到.在数学上，抛开它的实际意义，将其抽象为向量间的数量积，我们给出以下具体定义：

（一）数量积的定义

设向量a，b之间的夹角为θ（0≤θ≤π），则称|a||b|cosθ为向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ，向量的数量积又称“点积”或“内积”.

显然，由向量的数量积的定义容易推出以下结果：

可以验证，向量的数量积还满足下列运算律：

交换律：a·b=b·a；

分配律：（a+b）·c=a·c+b·c；

结合律：λ（a·b）=（λa）·b（其中λ为常数）.

（二）用向量的坐标来表示数量积

设a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk，利用数量的运算性质，可得

a·b=(axi+ayj+azk)·(bxi+byj+bzk)

=axbx(i·i)+aybx(j·i)+azbx(k·i)+axby(i·j)+

ayby(j·j)+azby(k·j)+axbz(i·k)+aybz(j·k)+azbz(k·k).

由于i，j，k是两两互相垂直的单位向量，故有

【例题2】　设a=3i-2j+k，b=2i+j+4k，求a·　B.

解：由（3）式得

【例题3】　已知a={1，2，-1}，b={2，0，k}，且满足a⊥b，求k.

解：由（4）式得

【例题4】　设△ABC的3个顶点为A（0，1，-1），B（1，3，4），C（-1，-1，0），证明△ABC为直角三角形.

（三）向量a与b的夹角余弦

由向量定义及向量的坐标表示法，设a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k，均为非零向量，则

【例题5】　已知a={2，-1，0}，b={1，0，2}，求a·b，cos＜a，b^＞.

解：a·b={2，-1，0}×{1，0，2}=2+0+0=2，

二、向量的向量积（叉积）

在实际问题中我们还要用到两个向量的另一种乘法运算.例如物体受力作用而产生的力矩等.在这些问题中，两个向量的乘积仍然是一个向量，其方向垂直于这两个向量所在的平面，并由右手法则确定，大小等于这两个向量的模与向量间夹角的正弦的乘积.由于此向量具有普遍的意义，因此，我们将其定义为两个向量的向量积.下面给出向量积的定义.(www.chuimin.cn)

1.定义

两个向量a与b的向量积仍是一个向量，记作a×b，它的大小和方向分别规定如下：①大小：|a×b|=|a||b|sinθ其中θ是向量a与b的夹角.

②方向：a×b的方向为既垂直于a又垂直于b，即垂直于a与b的平面，并且按顺序a，b，a×b符合右手法则.

由向量积的大小可得|a×b|的几何意义：表示以a，b为边的平行四边形的面积，则由向量积的定义可得

①a×a=0.

②若a、b为非零向量，则a∥b的充要条件是a×b=0.

向量的向量积满足下述运算律：

反交换律：a×b=-b×a；

分配律：（a+b）×c=a×c+b×c；

结合律：λ（a×b）=（λa）×b=a×（λb）（其中λ为常数）.

2.向量积的坐标表示

设a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k，