【主要内容】形如y″+py′+qy=f（x）（）（其中p，q是常数，f（x）是已知函数，且不恒为零）的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程，称y″+py′+qy=0（）是式（）对应的齐次线性微分方程.如果Y（x）是式（）的通解，y（x）是式（）的一个特解，则y（x）=Y（x）+y（x）是式（）的通解.关于二阶常系数非齐次线性微分方程（）的特解有以下结论：（1）当f（x）=Pm（x）eλx（其......
2023-10-27
二阶非齐次线性微分方程
【摘要】：一、二阶常系数非齐次线性方程解的结构定理5若y*是二阶常系数线性非齐次方程的一个特解，Y=c1y1+c2y2是方程（1）对应的二阶常系数线性齐次方程的通解，则是方程（1）的通解.二、二阶常系数非齐次线性方程的解法下面我们根据f（x）具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式：【例题1】求方程y″+4y′+3y=x-2的一个特解.解：对应的特征方程为p2+4p+3=0.原方程右端不出现eμx，但可
一、二阶常系数非齐次线性方程解的结构
定理5 若y*是二阶常系数线性非齐次方程
的一个特解，Y=c1y1+c2y2是方程（1）对应的二阶常系数线性齐次方程
的通解，则
是方程（1）的通解.
二、二阶常系数非齐次线性方程的解法
下面我们根据f（x）具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式：
【例题1】 求方程y″+4y′+3y=x-2的一个特解.
解：对应的特征方程为p2+4p+3=0.
原方程右端不出现eμx，但可以把它看作（x-2）e0x，即μ=0.
因为μ=0不是特征方程的根，所以设特解为
代入原方程，得
于是：
故所求的特解为：
2.设f（x）=eμxφ（x）cosvx或f（x）=eμxφ（x）sinvx，其中a，μ，v为常数.
【例题2】 求方程y″+3y=sin2x的特解.
解：显然可设特解为：
代入原方程得：
由此得：
从而原方程的特解是
习题6.4
1.求下列微分方程的通解
(1)y″+5y′+6y=x+1
(2)y″-4y′+4y=e2x
(3)y″+2y′-3y=ex
(4)y″-y′-2y=x2
2.求下列微分方程的通解
(1)y″+y′+y=sinx
(2)y″-2y′+5y=sinx
(3)y″+y=exsinx
(4)y″-y′+2y=ex(sinx+cosx)
3.求下列微分方程满足初始条件的特解
复习题六
一、填空题(www.chuimin.cn)
1.微分方程（y‴）3-y″+xy5+3=0的阶数是______________.
2.微分方程y′=x2的通解是_________________.
3.以r2-4r-5=0为特征方程的常微分方程为_________________.
4.二阶齐次线性微分方程y″-4y′=0的通解为_________________.
5.二阶齐次线性微分方程y″+y=0的通解为______________.
二、选择题
1.微分方程y″+3y′+2y3=sinx的阶数为（ ）.
A.一阶 B.二阶 C.三阶 D.四阶
2.满足以y=（C1+C2x）e4x为通解的微分方程为（ ）.
A.y″+4y′+4y=0 B.y″+4y′=0
C.y″-4y′=0 D.y″+4y=0
4.在下列微分方程中，其通解为y=C1cosx+C2sinx的是（ ）.
A.y″-y′=0 B.y″+y′=0 C.y″-2y′=0 D.y″-4y′=0
5.函数y=3e2x是方程y″-4y=0的（ ）.
A.通解 B.特解
C.解，但既非通解也非特解 D.以上都不对
三、计算题
求下列方程的通解
(1)y′=2x2(2)y″=ex+1
(3)y′=2y(4)y′=cotx
(5)y′-2xy=0(6)xy′-x2y=0
(7)y′-y=e2x(8)y′-xy=2x
(9)y″+3y′+2y=0(10)y″-9y′=0
(11)y″+4y=0(12)y″+6y′+9y=0
(13)y″+2y′-3y=x(14)y″+y′+y=sin2x
四、应用题
2.设F（x）=f（x）g（x），其中函数f（x），g（x）在（-∞，+∞）内满足以下条件：f′（x）=g（x），g′（x）=f（x），且f（0）=0，f（x）+g（x）=2ex.
（1）求F（x）所满足的一阶微分方程；
（2）求出F（x）的表达式.
3.设f（x）具有二阶连续导数，f（0）=0，f′（0）=1，且
为一全微分方程，求f（x）及此全微分方程的通解.
中国微分几何学之父——苏步青
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2023-10-27
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2023-10-19
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高等数学第二版第六节：二阶齐次线性微分方程详细阅读
，pn-1，pn都是常数.令y=erx，那么把y及其各阶导数代入方程，得方程叫作方程的特征方程.根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的通解如下：从代数学知道，n次代数方程有n个根.而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数.这样就得到n阶常系数线性微分方程的通解：例4 求方程的通解y-2y+5y″=0.解 这里的特征方程为即r2=0.它的根是r1=r2=0和r3，4=1±2i.因此所给微分方程的通解为......
2023-10-19
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微分方程基本概念、可分离变量及一阶线性非齐次详细阅读
知识要点1.微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶、通解、特解.2.可分离变量的微分方程：求解可分离变量微分方程的步骤：（1）分离变量；（2）两端分别积分，可得原方程的通解.如果问题为求特解，只需将初始条件代入求得的通解，确定常数C的值即可.3.一阶线性非齐次微分方程：形式：y′+P（x）y=Q（x）.求解方法有以下两种：（1）常数变易法：第一步，先求对应的齐次微分方程y′+P（x）y=0的通解......
2023-10-26
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