【主要内容】形如y″+py′+qy=f（x）（）（其中p，q是常数，f（x）是已知函数，且不恒为零）的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程，称y″+py′+qy=0（）是式（）对应的齐次线性微分方程.如果Y（x）是式（）的通解，y（x）是式（）的一个特解，则y（x）=Y（x）+y（x）是式（）的通解.关于二阶常系数非齐次线性微分方程（）的特解有以下结论：（1）当f（x）=Pm（x）eλx（其......
2023-10-27
高等数学基础：二阶常系数齐次线性微分方程
【摘要】：回答是否定的，因为根据通解的定义，只有当c1，c2这两个常数相互独立时才是的通解.y1，y2在满足什么样的条件下，才能使得c1，c2相互独立呢？
形如
的方程，称为二阶线性微分方程.其中，p、q都是常数，f（x）是x的已知连续函数.
（1°）若f（x）≡0，方程（1）变为
称方程（2）为二阶常系数线性齐次微分方程.
（2°）若f（x）≠0，称方程（1）为二阶常系数线性非齐次微分方程.
一、二阶常系数线性齐次方程解的结构
定理1 若y1，y2是二阶常系数线性齐次微分方程（2）的两个解，则y=y1+y2也是方程（2）的解.
定理2 若y1是二阶常系数线性齐次微分方程（2）的一个解，则y=cy1也是方程（2）的解.
定理3 （叠加原理）若y1，y2是二阶常系数线性齐次微分方程（2）的两个解，则y=c1y1+c2y2仍是方程（2）的解.（以上c，c1，c2均为任意常数）
以上3个定理都可以通过代入法进行验证，在此留给读者自己练习.但必须指出，定理3中y=c1y1+c2y2是二阶常系数线性齐次方程（2）的解，又由于含有两个任意常数c1，c2，它是不是（2）的通解呢？回答是否定的，因为根据通解的定义，只有当c1，c2这两个常数相互独立时才是（2）的通解.
y1，y2在满足什么样的条件下，才能使得c1，c2相互独立呢？即使得y=c1y1+c2y2是（2）的通解呢？为此引入函数的线性相关与线性无关的两个概念.
定义1 设函数y1（x）和y2（x）是定义在区间（a，b）内的函数，如果存在两个不全为零的常数c1，c2；使得c1y1+c2y2≡0对∀x∈（a，b）都成立，则称函数y1（x）与y2（x）在区间（a，b）内线性相关，否则称函数y1（x）与y2（x）在区间（a，b）内线性无关.
也就是说两个函数y1（x）和y2（x）中任何一个都不是另一个的倍数时，即y1（x）y2（x）≠c（c为常数），则称y1（x）和y2（x）线性无关.否则就称为线性相关.这就为我们提供了判断两个函数在区间内是否线性相关的一种简便方法.
定理4（通解结构定理） 若y1，y2是二阶常系数线性齐次方程（2）的两个线性无关的解，则y=c1y1+c2y2是该方程的通解，其中c1，c2为任意常数.
由定理4可以看出，对于二阶常系数线性齐次微分方程，只要求得它的两个线性无关的特解，就可以求得它的通解.例如方程y″-y=0是一个二阶常系数线性齐次方程，容易看出y1=ex，y2=e-x都是它的解，且y1/y2=e2x≠常数，即y1，y2是线性无关的，因此y=c1ex+c2e-x是方程y″-y=0的通解.
二、二阶常系数齐次线性方程的解法
前面我们已经知道了二阶常系数线性齐次方程的通解结构，它的通解可按一定的方法求解.
二阶常系数线性齐次方程的一般形式为y″+py′+qy=0，其中p，q为实常数.我们知道指数函数erx求导后仍为指数函数.我们可令y=erx，代入上面的方程得：
因为erx≠0，所以：
方程r2+pr+q=0就被称为方程y″+py′+qy=0的特征方程.根据这个代数方程的根的不同性质，我们分3种不同的情况来讨论：
设r1，r2为特征方程r2+pr+q=0的解.
（1）当r1≠r2即p2-4q＞0时，y=C1er1x+C2er2x为其通解.
（2）当r1=r2=r即p2-4q=0时，特征方程只有一个解y=Cerx.
（3）当r=α±iβ即p2-4q＜0时，有y=e（α±iβ）x虚解.
利用欧拉公式可得实解，故通解为 (www.chuimin.cn)
求二阶常系数齐次线性微分方程
的通解的步骤如下：
1.写出微分方程（3）的特征方程
2.求出特征方程（4）的两个根r1，r2.
3.根据特征方程（4）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（3）的通解：
【例题1】 求方程y″-2y′-3y=0的通解.
解：此方程的特征方程为：
它有两个不相同的实根p1=-1，p2=3，因此所求的通解为：
【例题2】 求微分方程y″-2y+5y=0的通解.
解：所给微分方程的特征方程为：
其根r1，2=1±2i为一对共轭复根，因此所求通解为
【例题3】 求微分方程y″-4y′+4y=0的通解.
解：所给微分方程的特征方程为
其有两个相同的实根r1=r2=2，因此所求通解为
习题6.3
1.写出满足下列条件的微分方程.
（1）写出以r2-4r-5=0为特征方程的常微分方程
（2）写出以r2-r=0为特征方程的常微分方程
2.写出下列微分方程的通解.
(1)y″-2y′+y=0 (2)y″+5y′+6y=0
(3)y″-4y′=0(4)y″+y=0
(5)y″+2y′+y=0(6)y″+2y′+y=0
(7)y″-5y′=0(8)y″+y′+y=0
3.求下列微分方程满足初始条件的特解.
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