解一阶线性微分方程-高等数学基础

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：形如y′+p（x）y=q（x），其中，p，q与y，y′无关，但可以与x有关.它对y与y′而言是一次的，故称之为一阶线性微分方程.当q（x）=0时称为齐次线性微分方程；当q（x）≠0时称为非齐次线性微分方程.一、齐次线性微分方程的解法齐次线性微分方程的形式为：y′+p（x）y=0.此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得：两边积分得：ln|y|=-∫p（x）dx，这就是齐次线性微分方程的一般解.

形如y′+p（x）y=q（x），其中，p，q与y，y′无关，但可以与x有关.它对y与y′而言是一次的，故称之为一阶线性微分方程.

当q（x）=0时称为齐次线性微分方程；当q（x）≠0时称为非齐次线性微分方程.

一、齐次线性微分方程的解法

齐次线性微分方程的形式为：y′+p（x）y=0.

此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得：

两边积分得：ln|y|=-∫p（x）dx，

这就是齐次线性微分方程的一般解.

【例题1】　求齐次线性微分方程y′-xy=0的通解.

二、非齐次线性微分方程的解法

先求出其对应的齐次线性微分方程y′+p（x）y=0的一般解y=Ce-∫p（x）dx，然后把C看作x的函数C（x），再代到非齐次线性微分方程中来求解C，即令y=C（x）e-∫p（x）dx为非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）的解.则y′=C′（x）e-∫p（x）dx+C（x）e-∫p（x）dx·[-p（x）].

代入y′+p（x）y=q（x）得

两边积分得：C（x）=∫q（x）e∫p（x）dxdx+　C.

代入y=C（x）e-∫p（x）dx得到非齐次线性微分方程的一般解：

上面我们所学的这种解法被称为常数变易法.

【例题2】　求微分方程y′-y=1的通解.

解：用常数变易法，先求y′-y=0的通解.

即得　

令：

把y，y′代入原方程，得

通解：

即：

【例题3】　求微分方程y′cosx+ysinx=1的通解.