微分方程基本概念及可分离变量求解

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：一、建立微分方程的数学模型解：设曲线方程为y=f（x），且曲线上任意一点的坐标为（x，y）.根据题意以及导数的几何意义可得两边同时求不定积分得y=∫xdx，这就是所求的曲线方程.引例2求方程y"=cosx的通解.解：一次积分得：二次积分即得到方程的通解：以上我们仅以物理学、几何学引出关于变量之间微分方程的关系，其实在化学、生物学、自动控制、电子技术等学科中都提出了许多有关微分方程的问题，从而要

一、建立微分方程的数学模型

解：设曲线方程为y=f（x），且曲线上任意一点的坐标为（x，y）.根据题意以及导数的几何意义可得

两边同时求不定积分得　y=∫xdx，这就是所求的曲线方程.

引例2　求方程y"=cosx的通解.

解：一次积分得：

二次积分即得到方程的通解：

以上我们仅以物理学、几何学引出关于变量之间微分方程的关系，其实在化学、生物学、自动控制、电子技术等学科中都提出了许多有关微分方程的问题，从而要探讨解决这些问题的方法.本章我们将介绍有关微分方程基本概念、基本理论和几种常用类型微分方程的求解方法.

二、基本概念

定义1　含有导数（或微分）的方程，称为微分方程.

在微分方程中，若自变量只有x，y时，则称为常微分方程，若自变量是2个以上的，如x，y，z，则称为偏微分方程.本课程只讨论常微分方程.

例如：

以上6个方程都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）、（6）是常微分方程，（4）是偏微分方程.

定义2　微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.

n阶微分方程一般记为：

例如：以上4个方程中（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程，（4）是二阶偏微分方程.

定义3　由引例1，引例2的（1）式，（3）式可知，它们都是方程的解，且方程的阶数与所包含的常数的个数相等，我们把符合此条件的微分方程的解称为通解.

如（2）式就是引例1的一个特解.

解：求出所给函数的导数

把y和y′，y″的表达式代入方程得

因此所给函数是微分方程的解.

三、可分离变量的微分方程

我们往往会以为将上式两端积分即可求解，其实是不对的.因为两端积分后，得y=∫f（x）g（y）dx，右端是什么也求不出的，故无法求出y.(www.chuimin.cn)

其正确解法为：（1）分离变量，设y=y（x）为所求的解，于是当y=y（x）时，有

（3）求出积分，即得通解

【例题2】　求微分方程y′=x的通解.

两边积分，得∫dy=∫xdx，

即得　y=x2+C（C为任意常数）.

即得y2=x2+C　（C为任意常数）.

【例题4】　求微分方程y′=y的通解.

即得　lny=x+C　（C为任意常数），　

*【例题5】　求微分方程（y-1）dx-（xy-y）dy=0的通解.

解：将方程分离变量为

两边积分得

这个解就是方程的隐式通解，在此没有必要再进行化简.

习题6.1

1.指出下列微分方程的阶数.

(1)y″+3y′+2y3=sinx

(2)(7x-6y)dx+dy=0

(3)(y‴)3+5(y′)4-y2+x=0

2.指出下列函数是否是已给方程的通解或特解（其中C1，C2为任意常数）.

(1)y″+4y′+3y=0,y=C1ex+C2e3x

3.求解微分方程.

4.求下列可分离变量微分方程的通解.

微分方程基本概念及可分离变量求解

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