一、不定积分的概念原函数定义：设f（x）是定义某区间I上的已知函数，若存在一个函数F（x），对于该区间上每一点都满足：F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，则称F（x）是f（x）在该区间I上的一个原函数.如已知f（x）=2x，由于F（x）=x2满足F′（x）=（x2）′=2x，所以F（x）=x2是f（x）=2x的一个原函数.同理，x2+1，x2-1，x2+10等也都是f（x）=2x的原函......
2025-09-30
高等数学基础：定积分在几何上的应用
【摘要】：一、定积分的元素法（微元法）在定积分的应用中，人们经常采用所谓的元素法，为此，回顾一下之前讨论过的曲边梯形的面积计算方法.设f在区间[a，b]上连续，且f≥0，求以曲线y=f为曲边，底为[a，b]的曲边梯形的面积A，如图5.9所示.图5.9（一）分割用任意一组分点a=x0＜x1＜…
一、定积分的元素法（微元法）
在定积分的应用中，人们经常采用所谓的元素法，为此，回顾一下之前讨论过的曲边梯形的面积计算方法.
设f（x）在区间[a，b]上连续，且f（x）≥0，求以曲线y=f（x）为曲边，底为[a，b]的曲边梯形的面积A，如图5.9所示.
图5.9
（一）分割
用任意一组分点a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b将区间分成n个小区间[xi-1，xi]，其长度为
（二）近似替代
曲边梯形被划分成n个小曲边梯形，每一小曲边梯形被分成小矩形，第i个小矩形的面积记为ΔAi（i=1，2，…，n），则
（三）求和
得面积的近似值
（四）求极限
得面积A的精确值
为了保证所有小区间的长度都无限缩小，要求小区间长度中的最大值趋于零，即
由上述过程可见，（二），（四）两步最重要，通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤.
计算A的定积分表达式步骤如下所述.
（1）选取一个变量x为积分变量，在[a，b]中任取一微元区间[x，x+dx]；
（2）求微元dA=f（x）dx；
二、定积分在几何上的应用
（一）直角坐标系下平面图形的面积
由曲线y=f（x）（f（x）≥0）及直线x=a与x=b（a＜b）与x轴所围成的曲边梯形面积A，如图5.10所示.
一般来说，由曲线y=f（x）与y=g（x）及直线x=a，x=b（a＜b）所围成的图形面积A，如图5.11所示.
图5.10
图5.11
【例题1】 求由y=x2，x=2及x轴所围成图形的面积，如图5.12所示.
图5.12
解：如图5.12所示，所围图形就是曲边梯形OAB，选取一个变量x为积分变量，在[0，2]任取其中的一微元区间[x，x+dx]，则dA=x2dx，
【例题2】 求由抛物线y=x2与直线y=x所围成的图形面积.
选x为积分变量，则x的变化范围是[0，1]，任取其上的一个区间微元[x，x+Δx]，则可得到相应于[x，x+Δx]的面积微元
从而所求面积为
【例题3】 求由y2=x，y=x2所围成图形的面积.
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图5.13
图5.14
（二）旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体图形，该定直线称为旋转轴.
计算由曲线y=f（x），直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的立体的体积.
根据微元法，解法步骤如下：
（1）取x为积分变量，则x∈[a，b]，对于区间[a，b]上的任一区间[x，x+dx]，它所对应的曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f（x）为底半径，dx为高的圆柱体的体积.
（2）体积元素为dV=π[f（x）]2dx.
图5.15
取x为积分变量，则体积元素为
习题5.5
1.计算由下列曲线所围成的图形的面积
（1）y=x，x=2，x轴
（2）y=x2，x=2，x轴
（3）y=ex，x=1，x轴，y轴
（4）y=x2（x≥0），y=2，y轴
(6)y=x2,x+y=2
(7)y=x2,y=x
(8)y=2x-x2,x+y=0
2.计算由下列曲线所围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积
（1）y=x，x=1，x轴；绕x轴
（2）y=x2，x=1，x轴；绕x轴
（3）y=ex，x=2，x轴，y轴；绕x轴
（5）y=sinx，x∈[0，π]，x轴；绕x轴
（6）x2+y2=1（x＞0，y＞0）；绕x轴
复习题五
一、填空题
二、选择题
三、计算题
四、应用题
1.计算由抛物线y=ex，x=1及x轴，y轴所围图形的面积.
2.计算由抛物线y=x2（x≥0），x=3及x轴所围图形的面积.
3.计算由y=2x，x=1及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.
4.计算由y=x2，x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.
天才数学家——欧拉
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