极限是微积分学中一个基本概念，微分学与积分学的许多概念都是由极限引入的，并且最终由极限知识来解决.因此它在微积分学中占有非常重要的地位.我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这就是极限的最朴素思想.一、数列极限的定义（一）数列的概念定义1按自然数顺序递增的一列数称为数列.即简记为：{un}.数列中的每一个数称为数列的项，其中第一项u1称为数列的首项，第n项称为......
2025-09-30
微积分基本公式-高等数学基础
【摘要】：一、积分变上限函数设函数f（x）在区间[a，b]上连续，并且设x为[a，b]上的一点.则函数f（x）在部分区间[a，x]上的定积分∫xaf（x）dx存在且连续，为了区分积分变量，我们用t表示积分变量，记为定理1（微积分基本定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a，b]上具有导数，并且它的导数为图5.8定理1表明，Φ（x）是连续函数f（x）的一个原函数，因此可得.定理2
一、积分变上限函数
设函数f（x）在区间[a，b]上连续，并且设x为[a，b]上的一点.则函数f（x）在部分区间[a，x]上的定积分∫x
af（x）dx存在且连续，为了区分积分变量，我们用t表示积分变量，记为
定理1 （微积分基本定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a，b]上具有导数，并且它的导数为
图5.8
定理1表明，Φ（x）是连续函数f（x）的一个原函数，因此可得.
定理2（原函数存在定理） 如果f（x）在区间[a，b]上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为
注：这个定理一方面肯定了闭区间[a，b]上连续函数f（x）一定有原函数，另一方面也初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.
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二、牛顿-莱布尼兹公式（Newton-leibniz）公式
定理3 如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，且F（x）是f（x）的任意一个原函数，那么
上述公式称为牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式.
定理3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数f（x）在[a，b]上的定积分，只需要求出f（x）在区间[a，b]上的一个原函数F（x），然后计算F（b）-F（a）就可以了.与不定积分积分方法一样，定积分的积分方法，可以分为4种类型，即直接积分法、第一类还原积分法（凑微分法）、第二类还原积分法和分部积分法.下面就来讨论定积分的直接积分法，即直接代入积分公式来求积分的方法.
解：根据定积分性质3，得
习题5.2
1.计算下列各导数.
3.利用牛顿-莱布尼兹公式求下列定积分.
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