，n）.又由于Δxi≥0（i＝1，2，…，n），因此记λ＝max｛Δx1，Δx2，…......
2025-09-30
高等数学基础：定积分概念解析
【摘要】：，n）.过各个分点作垂直于x轴的直线，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为ΔAi（i=1，2，…
一、引例
（一）曲边梯形的面积
设y=f（x）是区间[a，b]上的非负连续函数，由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f（x）所围成的图形（图5.1），称为曲边梯形，曲线y=f（x）称为曲边.现在求其面积A.
图5.1
由于曲边梯形的高f（x）在区间[a，b]上是变动的，无法直接用已有的梯形面积公式去计算.但曲边梯形的高f（x）在区间[a，b]上是连续变化的，当区间很小时，高f（x）的变化也很小，近似不变.因此，如果把区间[a，b]分成许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度近似代替该区间上的小曲边梯形的变高.那么，每个小曲边梯形就可近似看成这样得到的小矩形，从而所有的小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值.如果将区间[a，b]无限细分下去，即让每个小区间的长度都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积.其具体做法如下：
1.分割
首先在区间[a，b]内插入n-1个分点
把区间[a，b]分成n个小区间[xi-1，xi]（i=1，2，…，n），各小区间[xi-1，xi]的长度依次记为Δxi=xi-xi-1（i=1，2，…，n）.过各个分点作垂直于x轴的直线，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形（图5.1），小曲边梯形的面积记为ΔAi（i=1，2，…，n）.
2.近似替代
在每个小区间[xi-1，xi]上任意取一点ξi（xi-1≤ξi≤xi），作以f（ξi）为高，底边为Δxi的小矩形，其面积为f（ξi）Δxi，它可作为同底的小曲边梯形的近似值，即
3.求和
把n个小矩形的面积加起来，就得到整个曲边梯形面积A的近似值.
4.求极限
（二）变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，速度为v=v（t），计算在时间段[T1，T2]内物体所经过的路程s.
1.分割
在时间段[T1，T2]内任意插入若干个分点
把[T1，T2]分成个n小段
各小段时间的长依次为
相应各段时间内物体经过的路程为
2.近似替代
在小区间[ti-1，ti]上任取一个点ξi（ti-1≤ξi≤ti），以点ξi的速度v（ξi）代替[ti-1，ti]上各个时刻的速度，则得
3.求和
把各个小时间段内物体经过的位移相加，就得到总位移的近似值，即
4.求极限
设λ=max{Δt1，Δt2，…，Δtn}，当λ➝0时，上述和式的极限就是总位移的精确值，即
二、定积分的概念
我们看到，虽然曲边梯形面积和变速直线运动路程的实际意义不同，但解决问题的方法却完全相同.概括起来就是分割、近似替代、求和、取极限.抛开它们各自所代表的实际意义，抓住共同本质与特点加以概括，就可得到下述定积分的定义.
其中f（x）称为被积函数，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a，b]称为积分区间.
要理解定积分，应注意下面4个方面：
注意1 定积分是一个依赖于被积函数f（x）及积分区间[a，b]的常量，与积分变量采用什么字母无关.即
注意4 （函数可求积分的条件）若f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积；若f（x）在区间[a，b]上有界，且仅有有限个第一类间断点，则f（x）在[a，b]上可积.
三、定积分的几何意义
图5.2(https://www.chuimin.cn)
图5.3
由此可知，定积分的几何意义表示曲边梯形的面积的代数和.
【例题1】 用定积分的几何意义表示下列阴影部分的面积.
图5.4
【例题2】 用定积分的几何意义求定积分.
图5.5
图5.6
四、定积分的性质
性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
性质2 函数的和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即
性质3 对于任意3个数a，b，c，恒有
由定积分几何意义可知上式成立.
证：因为在[a，b]上f（x）≤g（x），则f（x）-g（x）≤0，
性质7 设M，m是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值，则
证：因为m≤f（x）≤M，由性质5，得
性质8 （积分中值定理）设函数f（x）在[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点ξ使得
证：因为f（x）在[a，b]上连续，所以f（x）在[a，b]上一定有最小值m和最大值M，由性质7可得：
积分中值公式有以下几何解释：在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得以区间[a，b]为底，以曲线y=f（x）为曲边的曲边梯形面积等于与之同一底边而高为f（ξ）的一个矩形的面积（图5.7）.
解：令f（x）=x2-2x-1，则f′（x）=2x-2，令f′（x）=2x-2=0，得x=1，f（1）=-2，f（-1）=2，f（2）=-1，M=2，m=-2，即
图5.7
习题5.1
1.判断下列式子的对错.
2.利用定积分的几何意义，写出下列定积分的值.
3.利用定积分的性质比较下列积分的值的大小.
4.估计下列定积分的值.
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