上节我们在复合函数求导法则的基础上，给出了转化不定积分的重要方法——换元积分法.但有很多积分如等利用换元积分仍然无法积出.本节将在函数乘积的求导公式的基础上，推导出转化不定积分的另一重要方法——分部积分法.设函数u＝u（x），v＝v（x）具有连续的导数，那么两个函数乘积的求导公式为（uv）′＝u′v＋uv′移项得uv′＝（uv）′－u′v对上式两边积分得或公式（4－2）或（4－3）称为不定积分的分......
2023-11-19
高等数学基础：不定积分分部积分法
【摘要】：分部积分法如下所述。
分部积分法如下所述。
设u=u（x），v=v（x），则有
两端求不定积分，得
以上公式称为不定积分的分部积分公式.
本节分部积分共分为5种类型，如下所述.
1.∫xcosxdx;∫xsinxdx.
【例题1】 求不定积分∫xcosxdx.
解：设u=x，cosxdx=d（sinx）=dv
2.∫xexdx;∫x2exdx.
【例题2】 求不定积分∫xexdx.
解：∫xexdx=∫xdex=xex-∫exdx=xex-ex+ C.
【例题3】 求不定积分∫x2exdx.
解：∫x2exdx=∫x2dex=x2ex-∫exdx2
=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xdex=x2ex-2xex+2∫exdx=x2ex-2xex+2ex+C=ex(x2-2x+2)+ C.
3.∫xlnxdx;∫x2lnxdx.
【例题4】 求不定积分∫xlnxdx.
4.∫lnxdx;∫arccosxdx.
【例题5】 求∫lnxdx.
【例题6】 求不定积分∫arccosxdx.
5.∫exsinxdx.
【例题7】 求∫exsinxdx.
解：∫exsinxdx=∫sinxd（ex）=exsinx-∫exd（sinx） （分部积分法）(www.chuimin.cn)
=exsinx-∫excosxdx=exsinx-∫cosxdex
=exsinx-excosx+∫exdcosx （分部积分法）
=exsinx-excosx-∫exsinxdx
由于上式右端的第三项就是所求的积分∫exsinxdx，将它移到等式左端去，两端再同除以2，即得
习题4.4
计算下列不定积分.
(1)∫xsinxdx; (2)∫xe-xdx;
(3)∫x2lnxdx; (4)∫arctanxdx;
(5)∫x3lnxdx; (6)∫arcsinxdx;
(7)∫(lnx)2dx; (8)∫excosxdx.
复习题四
一、填空题
二、选择题
3.如果∫f（x）dx=x2+C，则f（x）=（ ）.
4.下列等式中正确的是（ ）.
三、求下列不定积分
四、应用题
1.已知f′（x）=1+x，求f（x）.
2.已知f（x）的一个原函数为sinx，求∫xf′（x）dx.
3.已知f（x）的一个原函数为ex，求∫xf″（x）dx.
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2023-11-22
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