高等数学基础：不定积分概念

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：一、不定积分的概念原函数定义：设f（x）是定义某区间I上的已知函数，若存在一个函数F（x），对于该区间上每一点都满足：F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，则称F（x）是f（x）在该区间I上的一个原函数.如已知f（x）=2x，由于F（x）=x2满足F′（x）=（x2）′=2x，所以F（x）=x2是f（x）=2x的一个原函数.同理，x2+1，x2-1，x2+10等也都是f（x）=2x的原函

一、不定积分的概念

原函数定义：设f（x）是定义某区间I上的已知函数，若存在一个函数F（x），对于该区间上每一点都满足：F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，则称F（x）是f（x）在该区间I上的一个原函数.

如已知f（x）=2x，由于F（x）=x2满足F′（x）=（x2）′=2x，所以F（x）=x2是f（x）=2x的一个原函数.同理，x2+1，x2-1，x2+10等也都是f（x）=2x的原函数.

由此可知，已知函数的原函数不止一个.

定理1：若F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x）+C（C为任意常数）是f（x）所有的原函数.

定理2：且若F（x），G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）和G（x）只相差一个常数（F（x）-

G（x））′=F′（x）-G′（x）=f（x）-f（x）=0，可知F（x）-G（x）=C，即它们仅相差一个常数.因

此，若F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的所有原函数可以表示为F（x）+C（C是任意常数）.

不定积分定义：函数f（x）的所有原函数，称为函数f（x）的不定积分，记作∫f（x）dx，其中f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，“∫”称为积分号.

因此，求函数f（x）的不定积分，只需求出f（x）的一个原函数F（x），再加上任意常数C即可.例如

由（x3）′=3x2，可知∫3x2dx=x3+C　（C为任意常数）

由（sinx）′=cosx，可知∫sinxdx=-cosx+C　（C为任意常数）

由（ex）′=ex，可知∫exdx=ex+C　（C为任意常数）

由不定积分的定义即可知不定积分与求导数（或微分）互为逆运算.

【例题2】　已知F′（x）=2x，求F（x）.

解：由（2）得F（x）=∫2xdx=x2+　C.

二、基本积分表

由不定积分的定义，可以很容易从导数的基本公式对应地得到下面基本不定积分公式.

（1）∫kdx=kx+C　（C为常数）(https://www.chuimin.cn)

(6)∫cosxdx=sinx+C

(7)∫sinxdx=-cosx+C

(10)∫secx·tanxdx=secx+C

(11)∫cscx·cotxdx=-cscx+C

三、不定积分的性质

性质1　函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即

性质2　求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

现主要介绍不定积分的4种积分方法，分别为直接积分法、第一类换元积分法（凑微分）、第二类换元积分法以及分部积分法.

四、直接积分法

直接套用不定积分基本公式表的积分方法称为直接积分法.

习题4.1

1.填空.

（3）已知F′（x）=x2，则F（x）=____________.

（4）已知F′（x）=cosx，则F（x）=____________.

（5）若f（x）的一个原函数是3x，则f（x）=____________.

2.判断下列式子的对错.

（4）设F1（x），F2（x）是区间I内连续函数f（x）的两个不同的原函数，且f（x）≠0，则在区间I内必有F1（x）-F2（x）=C，C为常数.（　）

3.计算下列不定积分.

高等数学基础：不定积分概念

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