一、函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f（x）│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f（x）在区间I有界，否则便称无界.注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数.例如：函数y=cosx在（-∞，+∞）内是有界的.再如：当x∈（-∞，+∞）时，恒有|sinx|≤1，所以函数f（x）=sinx在（-∞，+∞）内是有界函数.这里M=1（当然，也可以取大于1的任何......
2025-09-30
高等数学基础:函数图形描绘方法大揭秘
【摘要】：3.已知x+y=4，运用极值第二定理证明：当x=y时，L=x2+y2有最小值.
一、函数的渐近线
定义 当曲线y=f（x）上的一动点P沿着曲线移向无穷远时，如果点P到某指定直线L的距离趋近于零，那么直线L就称为曲线y=f（x）的一条渐近线.
图3.7
有垂直渐近线两条：x=-2，x=3
（二）水平渐近线（平行于x轴的渐近线）
那么y=b就是y=f（x）的一条水平渐近线.
例如y=arctanx，
图3.8
（三）斜渐近线
那么y=ax+b就是y=f（x）的一条斜渐近线.
斜渐近线的求法：
二、函数图形描绘的步骤和方法
（一）步骤
利用函数特性描绘函数图形.
（1）确定函数y=f（x）的定义域，对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论，求出函数的一阶导数f′（x）和二阶导数f″（x）.
（2）求出方程f′（x）=0和f″（x）=0在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
（3）确定在这些部分区间内f′（x）和f″（x）的符号，并由此确定函数.
（4）确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势.
（5）描出与方程f′（x）=0和f″（x）=0的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前述步骤讨论的结果画出函数的图形.
（二）作图举例
【例题3】 描绘方程（x-3）2+4y-4xy=0的图形.
（3）判别曲线形态
（4）求渐近线
图3.9
令f′（x）=0，得x=-2；令f″（x）=0，得x=-3.
（3）判别曲线形态
（4）求渐近线
（5）绘图
图3.10
习题3.5(https://www.chuimin.cn)
1.判断题.
（1）每一条曲线都有渐近线.（ ）
2.填空题.
3.选择题.
（2）设曲线y=lnx，则x=0是曲线的（ ）.
A.水平渐近线 B.垂直渐近线 C.极值点 D.驻点
A.x=0 B.x=-e-1C.x=e-1D.x=lne-1
4.作出下列函数的图像：
复习题三
一、填空题
1.函数y=x2-1在[-1，2]上满足拉格朗日中值定理的ξ____________________.
2.函数f（x）=x3-3x的驻点为_________________.
3.函数f（x）=x2-2x+1的单增区间为_________________.
4.函数f（x）=x2-2x在[0，2]上的最大值为_________________.
5.函数y=x3-1的拐点为_________________.
二、选择题
1.若x=1是f（x）=x2-ax+1的驻点，则a=（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若函数f（x）在（a，b）内二阶可导，且f′（x）＜0，f″（x）＜0，则在（a，b）内函数（ ）.
A.单调增加，向上凸 B.单调减少，向上凸；
C.单调增加，向上凹 D.单调减少，向上凹
3.曲线y=x3-3x2+6的拐点是（ ）.
A.x=1 B.(1,4) C.x=0 D.(4,1)
4.函数f（x）=x2-4x在[0，3]最小值为（ ）.
A.0 B.2 C.3 D.-3
5.f（x）=x3-3x在定义域R上的极大值为（ ）.
A.-1 B.1 C.-2 D.2
三、计算题
1.求函数的单调区间和极值.
(1)f(x)=x2-2x; (2)f(x)=x3-12x.
2.求下列函数的最值.
(1)f(x)=x2-2x+1,x∈[0,2]; (2)f(x)=x3-3x+1,x∈[-2,2].
3.求函数f（x）=x4-2x2的凹凸区间和拐点.
4.运用洛必达法则求极限.
四、应用题
1.若点（1，2）是曲线y=ax3+bx2+4x的拐点，求a， B.
2.一根铁丝长64m，靠墙围成一个矩形的篱笆，问长、宽取何值时，矩形篱笆围成的面积最大？
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