要比较准确地描绘出一般函数的图形，仅用描点作图是不够的，为了提高作图的准确性，可将前面讨论的函数性态应用到曲线的作图上，即先利用函数的一阶、二阶导数，分析函数的单调性、极值、凹凸性与拐点等整体性态，并求出曲线的渐近线，然后再描点作图，称这种作图的方法为分析作图法.其一般步骤如下：（1）确定f（x）的定义域、间断点，并讨论函数的奇偶性、周期性.（2）在定义区间内求函数f（x）的一阶、二阶导数为零或不......
2023-11-19
高等数学基础:函数图形描绘方法大揭秘
【摘要】：3.已知x+y=4，运用极值第二定理证明：当x=y时，L=x2+y2有最小值.
一、函数的渐近线
定义 当曲线y=f（x）上的一动点P沿着曲线移向无穷远时，如果点P到某指定直线L的距离趋近于零，那么直线L就称为曲线y=f（x）的一条渐近线.
图3.7
有垂直渐近线两条：x=-2，x=3
（二）水平渐近线（平行于x轴的渐近线）
那么y=b就是y=f（x）的一条水平渐近线.
例如y=arctanx，
图3.8
*（三）斜渐近线
那么y=ax+b就是y=f（x）的一条斜渐近线.
斜渐近线的求法：
二、函数图形描绘的步骤和方法
（一）步骤
利用函数特性描绘函数图形.
（1）确定函数y=f（x）的定义域，对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论，求出函数的一阶导数f′（x）和二阶导数f″（x）.
（2）求出方程f′（x）=0和f″（x）=0在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
（3）确定在这些部分区间内f′（x）和f″（x）的符号，并由此确定函数.
（4）确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势.
（5）描出与方程f′（x）=0和f″（x）=0的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前述步骤讨论的结果画出函数的图形.
（二）作图举例
【例题3】 描绘方程（x-3）2+4y-4xy=0的图形.
（3）判别曲线形态
（4）求渐近线
图3.9
令f′（x）=0，得x=-2；令f″（x）=0，得x=-3.
（3）判别曲线形态
（4）求渐近线
（5）绘图
图3.10
习题3.5(www.chuimin.cn)
1.判断题.
（1）每一条曲线都有渐近线.（ ）
2.填空题.
3.选择题.
（2）设曲线y=lnx，则x=0是曲线的（ ）.
A.水平渐近线 B.垂直渐近线 C.极值点 D.驻点
A.x=0 B.x=-e-1C.x=e-1D.x=lne-1
4.作出下列函数的图像：
复习题三
一、填空题
1.函数y=x2-1在[-1，2]上满足拉格朗日中值定理的ξ____________________.
2.函数f（x）=x3-3x的驻点为_________________.
3.函数f（x）=x2-2x+1的单增区间为_________________.
4.函数f（x）=x2-2x在[0，2]上的最大值为_________________.
5.函数y=x3-1的拐点为_________________.
二、选择题
1.若x=1是f（x）=x2-ax+1的驻点，则a=（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若函数f（x）在（a，b）内二阶可导，且f′（x）＜0，f″（x）＜0，则在（a，b）内函数（ ）.
A.单调增加，向上凸 B.单调减少，向上凸；
C.单调增加，向上凹 D.单调减少，向上凹
3.曲线y=x3-3x2+6的拐点是（ ）.
A.x=1 B.(1,4) C.x=0 D.(4,1)
4.函数f（x）=x2-4x在[0，3]最小值为（ ）.
A.0 B.2 C.3 D.-3
5.f（x）=x3-3x在定义域R上的极大值为（ ）.
A.-1 B.1 C.-2 D.2
三、计算题
1.求函数的单调区间和极值.
(1)f(x)=x2-2x; (2)f(x)=x3-12x.
2.求下列函数的最值.
(1)f(x)=x2-2x+1,x∈[0,2]; (2)f(x)=x3-3x+1,x∈[-2,2].
3.求函数f（x）=x4-2x2的凹凸区间和拐点.
4.运用洛必达法则求极限.
四、应用题
1.若点（1，2）是曲线y=ax3+bx2+4x的拐点，求a， B.
2.一根铁丝长64m，靠墙围成一个矩形的篱笆，问长、宽取何值时，矩形篱笆围成的面积最大？
3.已知x+y=4，运用极值第二定理证明：当x=y时，L（x）=x2+y2有最小值.
有关高等数学基础的文章
- 详细阅读
-
高等数学（上、下册）：函数图形描绘及渐近线解详细阅读
一、渐近线首先介绍曲线的渐近线，它规范着无穷远处函数曲线的走向.定义3.5 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远处时，该点到某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线.按直线的走向，渐近线可分为3种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.1）水平渐近线：平行于x轴的渐近线称为水平渐近线.设曲线y=f（x）的定义域是无限区间，若或（b为常数），则y=b就是曲线y=f（x）的一条水平渐近线.2）铅直渐近线......
2023-11-22
-
高等数学基础：函数性质概述详细阅读
一、函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f（x）│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f（x）在区间I有界，否则便称无界.注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数.例如：函数y=cosx在（-∞，+∞）内是有界的.再如：当x∈（-∞，+∞）时，恒有|sinx|≤1，所以函数f（x）=sinx在（-∞，+∞）内是有界函数.这里M=1（当然，也可以取大于1的任何......
2023-11-20
- 详细阅读
-
函数的极值和最值-高等数学基础详细阅读
解：要使材料最省，就是要罐头筒的总表面积最小.设罐头的底半径为r，高为h，如图3.5所示，则它的侧面积为2πrh，底面积为πr2，因此总表面积为图3.5于是得出结论：当所做罐头筒的高和底直径相等时，所用材料最省.习题3.21.求函数的单调区间和极值.f=x2-2x+4;f=x2-6x;y=2x3-3x2;y=x-ln(1+x);f=x3-12x.2.运用极值的第二定理求极值.f=x2-2x;f=x4-2x2.3.求函数的最值.f=x2-2x+1,x∈[-1,2];f=x2-2x,x∈[0,2];f=x3-3x,x∈[0,2];f=x4-2x2,x∈[0,2].4.已知x+y=s，运用极值第二定理证明......
2023-11-20
-
多元函数的极值分析-高等数学基础详细阅读
5.曲线L：xy=1（x＞0）上求一点，使函数f（x，y）=x2+2y2达到最小值.复习题八一、填空题二、选择题4.设z=xy，则dz=（）.A.dx+dyB.-dx-dyC.xdx+ydyD.yd......
2023-11-20
-
高等数学基础：中值定理和函数单调性详细阅读
一、拉格朗日（Lagrange）中值定理定理1（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；则至少存在一点ξ∈（a，b），使得或图3.1拉格朗日中值定理的几何意义：如果在闭区间[a，b]上连续的一条曲线弧y=f（x）除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，则曲线上至少存在一点C，使得曲线在点C处的切线平行于连接曲线两端点的弦AB.显然，......
2023-11-20
-
基本初等函数-高等数学基础详细阅读
一、基本初等函数我们常用的基本初等函数有6种，分别是常数函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数.（一）常数函数y=c（c为常数）.（二）幂函数1.函数y=xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.2.幂函数的性质及图像的变化规律①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图像都过点（1，1）.图1.9②α＞0时，幂函数的图像通过原点和点（1，1），并且在区间[0，+∞）上是增函数.③......
2023-11-20
相关推荐