并求此时曲线的凹凸区间.解y″＝12ax2＋6bx由于点（1，3）在该曲线上，将点（1，3）代入该曲线方程中得a＋b＝3又点（1，3）为曲线的拐点，故解得a＝－3，b＝6.此时y″＝－36x2＋36x＝36，由y″＝36＝0，解得x1＝0，x2＝1.列表表示如下.表3－3由表3－3可知，曲线的凸区间为，曲线的凹区间为［0，1］.利用凹凸性可以证明一类特殊的不等式.例8证明证取所以在上，曲线f＝tant是凹的.因此当时，有即......
2023-11-19
高等数学基础：曲线凹凸和拐点
【摘要】：一、曲线凹凸性的定义为了较准确地描述函数的图形，仅知道函数的单调区间和极值是不行的，比如说，f（x）在[a，b]上单调，这时会出现图3.6中的几种情况，l1是一段凸弧，l2是一段凹弧，l3既有凸的部分，也有凹的部分，曲线具有这种凸和凹的性质，称为凸凹性.图3.6曲线的凸凹性从几何意义上看，凸弧具有这种特点：从中任取两点，连接此两点的弦总在曲线的下方.进而不难知道，在[a，b]中任意取两个点函数在
一、曲线凹凸性的定义
为了较准确地描述函数的图形，仅知道函数的单调区间和极值是不行的，比如说，f（x）在[a，b]上单调，这时会出现图3.6中的几种情况，l1是一段凸弧，l2是一段凹弧，l3既有凸的部分，也有凹的部分，曲线具有这种凸和凹的性质，称为凸凹性.
图3.6 曲线的凸凹性
从几何意义上看，凸弧具有这种特点：从中任取两点，连接此两点的弦总在曲线的下方.进而不难知道，在[a，b]中任意取两个点函数在这两点处的函数值的平均值小于这两点的中点处的函数值.凹弧也有相仿的特点.
定义 设f（x）在[a，b]上连续，若对∀x1，x2∈（a，b）恒有
那么称f（x）在[a，b]上的图形是（向上）凹的或凹弧；如果恒有
那么称f（x）在[a，b]上的图形是（向下）凸的或凸弧.
如果f（x）在[a，b]上连续，且在（a，b）内的图形是凹的（或凸的），那么称为f（x）在[a，b]上的图形是凹的（或凸的）.
二、曲线凹凸性的判定
如果f（x）在[a，b]内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理.
定理1 设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数.
（1）若在（a，b）内，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上的图形是凸的.
（2）若在（a，b）内，f″（x）＞0，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的.
拐点：连续曲线y=f（x）上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点.
定理2 如果f（x）在（x0-δ，x0+δ）内存在二阶导数，则点[x0，f（x0）]是拐点的必要条件是f″（x0）=0.
确定曲线y=f（x）的凹凸区间和拐点的步骤：
（1）确定函数y=f（x）的定义域；
（2）求出二阶导数f″（x）；
（3）求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；
（4）判断或列表判断，确定曲线凹凸区间和拐点；
【例题1】 判别曲线y=2x2+3x+1的凹凸性.
解：因为y′=4x+3，y″=4＞0，
所以曲线y=2x2+3x+1在其定义域（-∞，+∞）上是凹的.
【例题2】 判别曲线y=x3的凹凸性.
解：因为y′=3x2，y″=6x.
当x＜0时，y″＜0，曲线在（-∞，0]是凸的；(www.chuimin.cn)
当x＞0时，y″＞0，曲线在[0，+∞）是凹的.
注意到，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点.
【例题3】 求y=xe-x的拐点.
解：y′=（1-x）e-x，y″=（x-2）e-x，令y″=0⇒x=2.
当x＜2时，y″＜0；当x＞2时，y″＞0.
所以x=2为拐点.
列表讨论：
习题3.4
1.填空题
（1）若点（1，2）是曲线y=ax3+bx2+4x的拐点，则a=________，b=________.
（2）曲线y=xex的凹区间是_________，凸区间是_________，拐点是_________.
2.选择题
（1）曲线y=x3-3x2+3在区间（-∞，-1）和（-1，1）内分别为（ ）.
A.凸的，凸的 B.凸的，凹的
C.凹的，凸的 D.凹的，凹的
（2）曲线y=lnx+1在区间（0，1）和（1，2）内分别为（ ）.
A.凸的，凸的 B.凸的，凹的
C.凹的，凸的 D.凹的，凹的
（3）曲线y=e-x区间（-1，0）和（0，1）内分别为（ ）.
A.凸的，凸的 B.凸的，凹的
C.凹的，凸的 D.凹的，凹的
3.计算题
（1）求曲线y=x3-1的凹凸区间.
（2）求曲线y=xex的凹凸区间和拐点.
（3）求曲线y=x4-2x3+1的凹凸区间和拐点.
（4）a、b为何值时，点（1，3）为曲线y=ax3+bx2的拐点？
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