一、函数的单调性从图上可以直观地看出，单调增加函数的切线斜率非负（见图3-3），单调减少函数的切线斜率非正（见图3-4）.图3-3图3-4定理3.7 设函数f（x）在区间I内可导，则：1）对任意x∈I，有f′（x）＞0，则函数f（x）在I严格单调增加；2）对任意x∈I，有f′（x）＜0，则函数f（x）在I严格单调减少.证 先证1）对任意x1，x2∈I且x1＜x2，函数f（x）在区间[x1，x2]上......
2023-11-22
高等数学基础：中值定理和函数单调性
【摘要】：一、拉格朗日（Lagrange）中值定理定理1（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；则至少存在一点ξ∈（a，b），使得或图3.1拉格朗日中值定理的几何意义：如果在闭区间[a，b]上连续的一条曲线弧y=f（x）除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，则曲线上至少存在一点C，使得曲线在点C处的切线平行于连接曲线两端点的弦AB.显然，
一、拉格朗日（Lagrange）中值定理
定理1（拉格朗日中值定理） 若函数f（x）满足条件：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
则至少存在一点ξ∈（a，b），使得
或
图3.1
拉格朗日中值定理的几何意义：如果在闭区间[a，b]上连续的一条曲线弧y=f（x）除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，则曲线上至少存在一点C，使得曲线在点C处的切线平行于连接曲线两端点的弦A B.
显然，在拉格朗日中值定理中，如果令f（a）=f（b），则上式变为f′（ξ）=0，即定理转化为罗尔定理.因此，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.
由此可得拉格朗日中值定理的两个推论：
推论1 若函数f（x）在区间（a，b）上可导，且对任意的x∈（a，b），都有f′（x）=0，则f（x）为（a，b）上的一个常量函数.
推论2 若对于区间（a，b）上的任一点x，都有f′（x）=g′（x），则f（x）和g（x）在（a，b）上最多相差一个常数，即f（x）=g（x）+C，其中C为常数.
【例题1】 验证拉格朗日定理对函数y=x3-1在[-1，3]上的正确性，并求ξ.
证：设f（x）=ln（1+x），显然f（x）在区间[0，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有
二、函数的单调性
如果函数y=f（x）在[a，b]上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线，这时曲线各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即y′=f′（x）≥0（或y′=f′（x）≤0）.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系，反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？
定理2 （函数单调性的判断定理）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导.
（1）若在（a，b）内f′（x）＞0，则函数y=f（x）在闭区间[a，b]上单调增加；
（2）若在（a，b）内f′（x）＜0，则函数y=f（x）在闭区间[a，b]上单调减少.
证明：任取x1，x2∈（a，b）且x1＜x2，由拉格朗日中值定理得
显然，若f′（ξ）＞0，则有f（x2）-f（x1）＞0，即函数f（x）在（a，b）上单调递增；若f′（ξ）＜0，则有f（x2）-f（x1）＜0，即函数f（x）在（a，b）上单调递减.
由此，若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正
图3.2
图3.3
（或负），也就是函数的导数在此区间上均取正值（或负值）.因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.(www.chuimin.cn)
求函数y=f（x）的单调区间的步骤.
（1）确定函数的y=f（x）定义域，如为R；
（2）求f′（x）；
（3）f′（x）=0，求出函数f（x）在定义域内导数为零的点和不可导点，如为x1，x2；
（4）区间划分
注：称f′（x0）=0的点为函数的驻点.
（5）写出函数y=f（x）的单调区间.
【例题1】 求函数f（x）=x2-2x的单调区间.
解：（1）f（x）的定义域为R；
(2)f′(x)=2x-2;
（3）令f（x）=0，得x=1；
（4）区间划分
【例题2】 求函数f（x）=x4-2x2的单调区间.
解：（1）f（x）的定义域为R；
(2)f′(x)=4x3-4x=4x(x2-1);
（3）令f′（x）=0，得x1=0，x2=-1，x3=1；
（4）区间划分
（3）区间划分
习题3.1
1.验证拉格朗日中值定理对函数y=x2-1在[-1，2]上的正确性，并求ξ.
2.验证拉格朗日中值定理对函数y=x2-x在[-1，3]上的正确性，并求ξ.
3.求下列函数的单调区间：
(1)f(x)=x2-2x+1; (2)f(x)=x2-4x.
4.求下列函数的单调区间：
(1)f(x)=x3-3x; (2)f(x)=x4-2x2.
*5.用拉格朗日中值定理证明不等式
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