续表考点：导数在研究函数中的应用（2017全国I，21）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.1.（2017山东莱芜二模）已知函数f（x）=ex[x2+（a+1）x+2a-1].（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=......
2025-09-30
导数的概念及物理学中的应用
【摘要】：一、导数的定义在学习导数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题.（一）引例：速度问题设某点沿直线运动.设动点于时刻t在直线上的位移s=f（t），如果该点作匀速运动，则动点的速度为整个运动的平均速度.即：如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值（1）会有不同的值.这样，把比值（1）笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同的时刻来考虑.那么，这种非匀速运动的
一、导数的定义
在学习导数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题.
（一）引例：速度问题
设某点沿直线运动.设动点于时刻t在直线上的位移s=f（t），如果该点作匀速运动，则动点的速度为整个运动的平均速度.
即：
如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值（1）会有不同的值.这样，把比值（1）笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同的时刻来考虑.那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为t0）的速度应如何理解而又如何求得呢？可以分为3步.
（1）在t0附近取一个小区间，设这一个小区间内时间的变化量为Δt，即时间从t0变化到t0+Δt，相应地在这段时间内，位移从s0=f（t0）变化到s=f（t0+Δt），即
（2）在这个小区间内动点的平均速度为
（3）如果时间间隔选得较短，这个平均速度近似于动点在时刻t0的速度.为了让平均速度等于时刻t0的速度，可以让小区间无限减小，即Δt→0，这样在t0点的速度就为v0，即：
这时就把这个极限值v0称为动点在时刻t0的（瞬时）速度.把上述引例加以归纳总结，就可以得出导数的定义.
（二）导数的定义
下面根据这3个步骤来求一些简单函数的导数.
【例题1】 用定义求函数y=3x2在x=1的导数.
即：（sinx）′=cosx
若函数f（x）在区间（a，b）内每一点都可导，就称函数f（x）在区间（a，b）内可导.这时函数y=f（x）对于区间（a，b）内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成了一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数.即：
此结果对一般的幂函数y=xμ（μ为实数）均成立，即（xμ）′=μxμ-1.
【例题4】 用定义求函数y=logax（a＞0，a≠1）的导数.
由以上可归纳基本初等函数的导数公式如下：
（1）（c）′=0 （c为常数） （2）（xμ）′=μxμ-1
(5)(ax)′=ax·lna (6)(ex)′=ex
(7)(sinx)′=cosx (8)(cosx)′=-sinx
(9)(tanx)′=sec2x (10)(cotx)′=-csc2x
(11)(secx)′=tanxsecx (12)(cscx)′=-cotxcscx
【例题5】 利用导数公式求下列函数的导数.
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二、导数的几何意义
【知识点回顾】
2.直线方程的5种形式
点斜式： y-y1=k（x-x1）
斜截式： y=kx+b
一般式： Ax+By+C=0
设M（x0，y0）是曲线C上的一个点（图2.1），则y0=f（x0）.在点M外另取C上的一点N（x，y），于是割线MN的斜率为
其中φ为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时，x→x0.如果当x→x0时，上式的极限存在，设为k，即
存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.这里k=tanα，其中α是切线MT的倾角.
切线方程：y-y0=f′（x0）（x-x0）
图2.1
所以切点为（1，-8）或（-1，-12）.
切线方程为y+8=4（x-1）或y+12=4（x+1），即
三、可导与连续的关系
前面已经介绍了左、右极限的概念，下面给出左、右导数的概念.
定理1 函数y=f（x）在x0处的可导的充分必要条件是函数y=f（x）在x0处的左右导数存在且相等.
定理2 可导必连续，连续未必可导.
习题2.1
1.利用导数的定义.
（1）求函数y=x在x=1处的导数；
（2）求函数y=x2的导数.
2.利用导数公式求下列函数的导数.
3.已知曲线y=x2上一点A（1，1），求：（1）过点A的切线的斜率；（2）过点A处的切线方程.
4.求曲线y=x2+1上x=1处的切线方程和法线方程.
5.如果曲线y=x2的某一切线与直线y=2x+3平行，求切点坐标与切线方程.
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