一、连续函数的概念
在自然界中有许多现象都是连续不断地变化的，如，气温随着时间的变化而连续变化；金属轴的长度随气温有极微小的改变也是连续变化的等.这些现象反映在数量关系上就是我们所说的连续性.函数的连续性反映在几何上可以看作一条不间断的曲线；下面给出连续函数的概念.
（一）函数的增量
增量的定义，简单说，就是变化后的量减去变化前的量.
例如：早晨t1=8时，温度T1=2℃，中午t2=14时，温度T2=12℃，则时间的增量为Δt=14-8=6时，温度的增量为ΔT=12-2=10℃，增量可正可负.
定义1 对y=f（x），若自变量从初值x0变为终值x时，差值Δx=x-x0称为自变量x的增量（通常称为改变量），记为Δx，相应的函数y的增量
（二）函数的连续性
定义2 一设函数y=f（x）在x0的某一个邻域U（x0，δ）内有定义，当自变量x在x0点有一个增量（改变量）Δx时，相应的函数y的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），当Δx趋近0时，Δy也趋近于0，即：
则称函数f（x）在点x0处连续.
由于Δx=x-x0，x=x0+Δx 所以，Δx→0，x→x0，所以
由此，可以得出连续的第二定义.
定义3 二设函数y=f（x）在x0的某一个邻域U（x0，δ）内有定义，若
则称函数f（x）在点x0处连续.
由定义3可知，一个函数f（x）在点x0连续必须满足下列3个条件（通常称为三要素）：
（1）函数y=f（x）在x0的一个邻域有定义，即有确定的函数值；
注意：（1）函数y=f（x）在x0点有极限并不要求其在x0点有定义，而函数y=f（x）在点x=x0连续，则要求其在x0点本身和它的邻域内有定义.
（2）如果3个条件有一个不满足，则函数f（x）在x0点不连续.
或
则称函数y=f（x）在点x0处左（右）连续.
定义5 若函数f（x）在开区间（a，b）内每一点都连续，则称函数f（x）在开区间（a，b）内连续.若函数f（x）在开区间（a，b）内连续，且在点a右连续，在点b左连续，则称函数f（x）在闭区间[a，b]上连续.
若函数f（x）在它的定义域内每一点都连续，则称f（x）为连续函数.
注意：对于讨论分段函数f（x）在分段点x=a处连续性问题，如果函数f（x）在x=a左右两边的表达式相同，则直接计算函数f（x）在x=a处的极限，如例2；如果函数f（x）在x=a左右两边的表达式不相同，则要分别计算函数f（x）在x=a处的左、右极限，再确定函数f（x）在x=a处的极限，如例1、例3.
二、连续函数的运算性质
设函数f（x）与g（x）在x0处连续，则
（1）f（x）±g（x），f（x）·g（x）在x0处连续；根据函数连续的定义及函数的和差积商的极限运算法则，可给出上述定理的证明.
即函数f（x）g（x）在x0处连续.
其他情形请读者作为练习自行完成.
三、初等函数的连续性
定理2 若函数u=φ（x）在x0处连续，u0=φ（x0），函数y=f（u）在u0处连续，则复合函数y=f（φ（x））在x0处连续.
如u=sinx在x=1处连续，y=u2在sin1处连续，则复合函数y=（sinx）2在x=1处连续.
定理3 若函数y=f（x）在某区间上严格单调且连续，则其反函数y=f-1（x）在相应的区间上也严格单调且连续.
由以上可得出结论：基本初等函数、初等函数在其定义区间内连续.
四、间断点(www.chuimin.cn)
定义6 若函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0是函数f（x）一个间断点或不连续点.
下面以具体的例子说明函数间断点的类型.
1.f（x）在点x0无定义.
图1.14
图1.15
这种类型的间断点称为跳跃间断点.
一般情况下，函数f（x）的间断点x0分为两类：若f（x）在x0的左、右极限都存在，则称x0为f（x）第一类间断点，在第一类间断点中，若f（x）在x0的左、右极限相等，则x0为可去间断点；若f（x）在x0的左、右极限不相等，则x0为跳跃间断点.不是第一类间断点的间断点，称为第二类间断点.如无穷间断点、振荡间断点.
*五、闭区间上连续函数的性质
定理4（最值性） 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在闭区间[a，b]上可同时取得最大值与最小值.
定理5（零点定理） 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0.
定理6（介值定理） 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），c为介于f（a）与f（b）的任意数，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）= C.
由定理6与定理8知，对于在闭区间[a，b]上连续函数f（x），可取得介于其在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之间的任意一个数.
*【例题12】 证明方程x-2sinx=1至少有一个根.
证明：设f（x）=x-2sinx-1，因为f（x）为初等函数，在其定义区间（-∞，+∞）内连续，所以，f（x）在[0，3]上连续.又f（0）=-1＜0，f（3）=3-2sin3-1＞0，根据零点定理，在（0，3）内至少存在一个ξ，使得f（ξ）=0，即方程x-2sinx=1至少有一个根.
习题1.8
1.求下列函数的间断点.
复习题一
一、填空题
二、选择题
5.当x→0，ex-1是x的（ ）.
A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小
三、计算题
1.分解下列复合函数.
(1)y=(1+2x)2; (2)y=sin(2x+3);
(3)y=e4x+1; (4)y=sin2(2x+1).
2.求极限.
四、应用题
微积分发展简史（一）
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