对于给定的数列｛xn｝，我们讨论当项数n无限增大时（记作n→∞），对应项的变化趋势.观察上面的四个数列，容易看出，当n→∞时，数列趋于1；数列各项的值在数1的两侧来回交替着变化，且越来越接近1；数列｛2n－1｝越来越大，无限增大；数列｛1－（－1）n｝各项的值永远在0与2之间交互取得，而不与某一数接近.如果当n→∞时，数列的项xn能无限接近于某个常数A，则称这个数列为收敛数列，常数A称为当n→∞时......
2023-11-19
高等数学基础：数列极限的定义及其在微积分学中的重要性
【摘要】：极限是微积分学中一个基本概念，微分学与积分学的许多概念都是由极限引入的，并且最终由极限知识来解决.因此它在微积分学中占有非常重要的地位.我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这就是极限的最朴素思想.一、数列极限的定义（一）数列的概念定义1按自然数顺序递增的一列数称为数列.即简记为：{un}.数列中的每一个数称为数列的项，其中第一项u1称为数列的首项，第n项称为
极限是微积分学中一个基本概念，微分学与积分学的许多概念都是由极限引入的，并且最终由极限知识来解决.因此它在微积分学中占有非常重要的地位.
我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这就是极限的最朴素思想.
一、数列极限的定义
（一）数列的概念
定义1 按自然数顺序递增的一列数称为数列.即
简记为：{un}.数列中的每一个数称为数列的项，其中第一项u1称为数列的首项，第n项称为数列的通项或一般项.
注：①数列分为有穷数列和无穷数列，比如：1，3，5，7，9这5项数值构成一个有穷数列.对此，本书不作讨论.本书所讨论的数列都是无穷数列.
②对于数列{un}，若对任何正整数n，都有un≤un+1成立，则称数列{un}为单调递增数列；若对任何正整数n，都有un≥un+1成立，则称数列{un}为单调递减数列.
（二）数列的极限
【引例】 {un}：1，2，3，4，5，…，n…；
根据引例列举的几个数列来看，当n无限增大时，相应项的值的变化情况各不相同，在变化过程中：
数列{un}的一般项n趋近于无穷大的数，它没有一个确定的终极趋势；
数列{vn}的一般项un=（-1）n+1在1与-1之间交替变化，它没有一个确定的值；
从上面几个例题可以看出，当n无限增大时，有的数列的值无限地接近一个定数，有的数列则在n无限增大的过程中飘浮不定.对于这些现象，用数学语言描述出来就有如下定义.
定义2 对于数列{un}，如果当n无限增大时，通项un无限趋近于常数A，则称A为数列{un}的极限，或称数列un收敛于A.记为
如果数列{un}没有极限（当n→∞时），称{un}发散.
关于极限，有一点是必须明确的，极限是变量变化的终极趋势，也可以说是变量变化的最终结果.因此，可以说，数列极限的值与数列前面有限项的值无关.
【例题1】 观察以下数列的变化趋势，确定它们的敛散性，对收敛数列，写出其极限.
（3）un=（-1）n+1即1，-1，1，-1，…，（-1）n+1，…当n为奇数时，un=1，当n为偶数时，un=-1，即当n无限增大时，奇数项等于1，而偶数项等于-1，un没有一个固定的终极趋势，因此该数列发散.
二、函数的极限
（一）自变量趋于无穷时的极限
1.x→+∞时的极限
由例子可以得出自变量趋于正无穷时极限定义.
这个概念描述的是当自变量朝正无穷远方向变化时，相应的函数值趋近于某个常数的变化趋势.当然，不是所有的函数都有这种性质，比如函数f（x）=x+1，可以看到，当自变量x朝正无穷远方向变化时（即x→+∞），相应的函数值f（x）=x+1也随之无限增大，不会趋于任何常数，因此这个函数在x趋于正无穷大时没有极限.
2.x→-∞时的极限
3.x→∞时的极限
(www.chuimin.cn)
（1）A是唯一的确定的常数；
（2）x→∞既表示趋于+∞，也表示趋于-∞.
【例题2】 讨论当x→∞，下列函数的极限是否存在.
所以当x→∞，f（x）=2的极限不存在.
（二）x→x0时自变量趋于有限值时函数的极限
在引入概念之前，我们前先看一个例子.
其实，当x无限趋近于1时，相应函数值就无限趋近2（图1.13）.这时称f（x）当x→1时以2为极限.
为此我们可以给出函数在某定点的极限的定义.
定义6 设函数f（x）在x0的某一去心邻域U°（x0，δ）内有定义，当x在U°（x0，δ）内无限趋近x0时，相应的函数值f（x）无限趋近于常数A，则称f（x）当x→x0时以A为极限，记作
值得注意的是：
②在x无限趋近x0的过程中，既可以从大于x0的方向趋近x0，也可以从小于x0的方向趋近于x0，整个过程没有任何方向限制.
【例题3】 讨论x→0时cosx的极限.
解：当x→x0，即cosx无限趋近于cosx0，
图1.13
有时我们在考察函数时只考虑在x0点左邻域（或它的右邻域内）有定义的情况，为此我们给出函数当x从x0的左侧无限接近于x0和从x0的右侧无限接近于x0时的极限定义.
定义7 右极限的定义：设函数f（x）在x0的某个右半邻域（x0，x0+δ）内有定义，当x从右边（大于x0的方向）无限接近x0时，相应的函数值f（x）无限趋近于常数A，则称函数f（x）在x0点存在右极限，记作
左极限的定义：设函数f（x）在x0的某个左半邻域（x0-δ，x0）内有定义，当x从左边（小于x0的方向）无限接近x0时，相应的函数值f（x）无限趋近于常数A，则称函数f（x）在x0点存在左极限，记作
解：函数f（x）在x=0点的U°（0，1）内有定义，当x从0的右侧趋于0时，相应的函数值
习题1.4
1.观察下列数列的变化，写出它们的极限.
2.利用函数的图形求下列极限.
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