中国现代数学先驱——熊庆来......
2023-11-20
高等数学基础：函数性质概述
【摘要】：一、函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f（x）│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f（x）在区间I有界，否则便称无界.注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数.例如：函数y=cosx在（-∞，+∞）内是有界的.再如：当x∈（-∞，+∞）时，恒有|sinx|≤1，所以函数f（x）=sinx在（-∞，+∞）内是有界函数.这里M=1（当然，也可以取大于1的任何
一、函数的有界性
如果对属于某一区间I的所有x值总有│f（x）│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f（x）在区间I有界，否则便称无界.
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数.
例如：函数y=cosx在（-∞，+∞）内是有界的.
再如：当x∈（-∞，+∞）时，恒有|sinx|≤1，所以函数f（x）=sinx在（-∞，+∞）内是有界函数.这里M=1（当然，也可以取大于1的任何数作为M而使|f（x）|＜M成立）.
二、函数的单调性
如果函数f（x）在区间（a，b）内随着x的增大而增大，即对于（a，b）内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调增加的，称（a，b）为单增区间.如果函数f（x）在区间（a，b）内随着x增大而减小，即对于（a，b）内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调减小的，称（a，b）为单减区间.
图1.6
图1.7
再如：函数f（x）=x2在区间（-∞，0）上是单调减小的，在区间（0，+∞）上是单调增加的.
三、函数的奇偶性
如果函数f（x）对于定义域（-a，a）内的任意x都满足f（-x）=f（x），则f（x）称为偶函数；如果函数f（x）对于定义域内的任意x都满足f（-x）=-f（x），则f（x）称为奇函数.
注：偶函数的图形是关于y轴对称的，如函数y=cosx；奇函数的图形是关于原点对称的，如y=sinx.
【例题1】 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x5-2x3(2)f(x)=cos3x
解：（1）f（-x）=（-x）5-2（-x）3=-x5+2x3=-（x5-2x3）=-f（x）
由函数奇偶性的定义可知，该函数在其定义区间内为偶函数.
(2)f(-x)=cos(-3x)=cos3x=f(x)
由函数奇偶性的定义可知，该函数在其定义区间内为偶函数.
由函数奇偶性的定义可知，该函数在其定义区间内为奇函数.
四、函数的周期性
对于函数f（x），若存在一个不为零的数l，使得关系式f（x+l）=f（x）对于定义域内任何x值都成立，则f（x）称为周期函数，l是f（x）的周期.
注：通常所说的周期函数的周期是指最小正周期，并非每一个函数都有最小正周期，如常数函数y=a及狄利克雷函数.
一般函数sinx，cosx是以2π为周期的周期函数；函数tanx是以π为周期的周期函数.(www.chuimin.cn)
如果某个函数可以分解成两个函数f1（x）与f2（x），设f1（x）与f2（x）分别以T1与T2为周期，并且，如果存在T1，T2的（正整数倍的）最小公倍数T，则函数f1（x）+f2（x）以T为周期.
【例题3】 求下列函数的周期：
五、反函数
（一）反函数的定义
定义 设y=f（x）为定义在D上的函数，其值域为M.若对于数集M中的每个数y，数集D中都有唯一的一个数x使f（x）=y，这就是说变量x是变量y的函数.这个函数称为函数y=f（x）的反函数，记为x=f-1（y）.其定义域为M，值域为 D.
习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，因此函数y=f（x）的反函数x=f-1（y）常改写为y=f-1（x），函数y=f（x）称为原函数；函数y=f（x）与其反函数y=f-1（x）之间存在着如下关系：
f-1(f(x))=x, f(f-1(x))=x
（二）反函数的性质
图1.8
在同一坐标平面内，y=f（x）与反函数y=f-1（x）的图形是关于直线y=x对称的，如图1.8所示.
【例题4】 求下列函数的反函数及其定义域：
（1）y=ax+b （a，b是常数，a≠0）；
(2)y=x2-1 (x＞0).
解：（1）由y=ax+b，移项解出x便得反函数：
习题1.2
1.求下列函数的周期.
2.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x4-2x2; (2)f(x)=tan5x;
3.求下列函数的反函数.
(1)y=2x+4;
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