一元高阶方程迭代解法

2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：图4.5牛顿迭代法求高阶方程根从数学上可以证明，若猜测解xk取在单根x*的附近，则它恒收敛。

用迭代法求一元高阶方程f（x）＝0的解，需要将方程f（x）＝0改写为一种迭代形式：x＝φ（x）；选择适当的初值x0，通过重复迭代构造出一个序列：x0，x1，x2，x3，…，xn，…；若函数在求解区间内连续，且这个数列收敛，即存在极限，那么该极限值就是方程f（x）＝0的一个解。在构成求解序列时，不可能重复无限次，重复的次数应由指定的精确度（或误差）决定。当误差小于给定值时，便认为所得到的解足够精确了，迭代过程结束。常用的方法有牛顿迭代法、二分迭代法和割线法3种。

1.牛顿迭代法求解一元高阶方程

牛顿迭代法又称为牛顿切线法，其基本思想如图4.5所示。设xk是方程f（x）＝0的精确解x*附近的一个猜测解，过点Pk（xk，f（xk））作f（x）的切线。该切线方程为：

y＝f（xk）+f'（xk）*（x-xk）

切线与X轴的交点是方程：f（xk）+f'（xk）*（x-xk）＝0的解，为：xk+1＝xkf（xk）/f'（xk），该式既是牛顿迭代法求解一元高阶方程的迭代公式。

图4.5　牛顿迭代法求高阶方程根

从数学上可以证明，若猜测解xk取在单根x*的附近，则它恒收敛。经过有限次迭代后，便可以求得符合误差要求的近似根。

【例4.13】　用牛顿迭代法求方程：x4-4x3+6x2-8x-8＝0在0附近的根。

程序的运行结果为：root＝-0.602272。

2.二分迭代法求解一元高阶方程

图4.6　二分迭代法求高阶方程根

设有一元高阶方程表示为：f（x）＝0，则用二分迭代法求高阶方程在某个单根区间的实根的步骤如下，如图4.6所示。

①输入所求区间的两个端点值即初值x1和x2，所取求根区间必须保证f（x1）*f（x2）＜0。