工程电磁场基本原理：矢量计算与乘积

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：图1-1-1二矢量之和如图1-1-1所示两个矢量的A与B的和，易得A+B=B+A，由此可知，矢量加法遵循交换律的同时也服从结合律。图1-1-2二矢量之差矢量的乘法1）标量与矢量的乘积矢量乘以标量，结果矢量的大小发生改变，方向并未发生改变。图1-1-3二矢量点乘图1-1-4二矢量叉乘

上一节已定义标量场和矢量场，本节定义矢量的四则运算、代数运算和积分运算。与标量的代数运算相比，部分规则类似，部分规则略有差异，部分规则是特有的。

（1）矢量加法

矢量加法是矢量的几何和，服从平行四边形规则。几何关系如图1-1-1所示。

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图1-1-1　二矢量之和

如图1-1-1所示两个矢量的A与B的和，易得A+B=B+A，由此可知，矢量加法遵循交换律的同时也服从结合律。

（2）矢量减法

从矢量加法的规则入手则很容易理解矢量减法的规则。将第二个矢量方向取反，则可将取反后的矢量按照之前的矢量加法规则进行矢量相加。几何关系如图1-1-2所示。其中B和-B的模相等，方向相反，互为逆矢量。

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图1-1-2　二矢量之差

（3）矢量的乘法

1）标量与矢量的乘积

矢量乘以标量，结果矢量的大小发生改变，方向并未发生改变。

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矢量除以一个标量相当于乘以该标量的导数，且矢量与标量的乘积也符合代数运算的结合律及交换律：

2）矢量的点乘

若给定两个矢量A和B，A·B定义为两个矢量的点乘，也叫标量积。其结果是标量，即为两个矢量模值的乘积，再乘以它们之间的夹角θ的余弦。在书写点乘运算式时，要加重两个矢量中间的点，切勿忘记书写，标量积符合乘法交换律。

点乘的物理意义是矢量B在矢量A方向上的投影与矢量A的模的乘积。其中θ为矢量A和矢量B的夹角，如果夹角θ为0°～90°，乘积为正；如果夹角θ为90°～180°，乘积为负，几何关系如图1-1-3所示。若两非零矢量的点乘结果为0，则说明两矢量垂直或正交。

将点乘的式子进行扩展，若矢量点乘它本身，则，单位矢量点乘它本身是1。

3）矢量的叉乘

若给定两个矢量A和B，则定义A与B的交叉乘积（矢量积）为A×B并读作“A叉乘B”。其大小为矢量A和B模的乘积，再乘以它们之间的夹角（夹角要小于180°）的正弦值。

式中ec为与矢量A和矢量B都垂直的单位矢量，且三者构成右手螺旋法则（逆时针方向）。两矢量叉乘，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，即大小等于矢量A和B模的乘积，再乘以它们之间的夹角θ（夹角要小于180°）的正弦值。方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则，几何关系如图1-1-4所示。

若颠倒A和B的位置，叉乘后的矢量方向相反，所以矢量叉乘顺序不能颠倒，可写表达式为B×A=-（A×B）。且当两个非零矢量叉乘结果为零矢量，则这两个矢量平行。

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图1-1-3　二矢量点乘

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图1-1-4　二矢量叉乘

工程电磁场基本原理：矢量计算与乘积

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